的欧几里得定理示出了三角形到的属性画一条线，其将它分成两个新的三角形是相似的并且，反过来，类似于原三角形; 然后，存在比例关系。
欧几里得是古代最伟大的数学家和几何学家之一，他对重要定理进行了多次证明。主要名称之一是带有他名字的名称，该名称已得到广泛应用。
之所以如此，是因为通过该定理，它以一种简单的方式解释了直角三角形中存在的几何关系，其中三角形的边与它们在斜边上的投影有关。
公式和示范
欧几里得定理提出，在每个直角三角形中，绘制一条线（代表与相对于斜边的直角顶点相对应的高度）时，将由原始直线形成两个直角三角形。
这些三角形将彼此相似，并且也将与原始三角形相似，这意味着它们的相似边彼此成比例：
三个三角形的角度相等。也就是说，当它们绕其顶点旋转180度时，一个角度与另一个角度重合。这意味着它们都将是相同的。
这样，三个三角形之间存在的相似性也可以通过它们的角度相等来验证。根据三角形的相似性，欧几里得根据两个定理建立了它们的比例：
-高度定理。
-腿定理。
该定理具有广泛的应用。在古代，它用于计算高度或距离，代表了三角学的巨大进步。
它目前被应用在基于数学的各个领域，例如工程，物理，化学和天文学，以及许多其他领域。
高度定理
在该定理中可以确定，在任何直角三角形中，相对于斜边的直角绘制的高度是其在斜边上确定的腿部投影之间的几何比例平均数（高度的平方）。
也就是说，高度的平方将等于构成斜边的投影腿的乘积：
h c 2 = m * n
示范
给定一个正好位于顶点C处的三角形ABC，绘制高度会生成两个相似的直角三角形ADC和BCD。因此，它们对应的边成比例：
以这样的方式，对应于段CD 的高度h c对应于斜边AB = c，因此我们具有：
反过来，这对应于：
求解斜边（h c），以使相等的两个成员相乘，我们有：
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
因此，斜边的值由下式给出：
腿定理
在该定理中，可以确定，在每个直角三角形中，每条边的度量将是斜边（完整）的度量与其上的每条投影之间的几何比例平均数（每条腿的平方）：
b 2 = c * m
a 2 = c * n
示范
给定正好位于顶点C处的三角形ABC，以使其斜边为c的方式，绘制高度（h）时，确定支脚a和b的投影，分别是段m和n，并且位于斜边。
因此，我们必须在直角三角形ABC上绘制的高度生成两个相似的直角三角形ADC和BCD，以便相应的边成比例，如下所示：
DB = n，这是腿CB在斜边上的投影。
AD = m，这是腿AC在斜边上的投影。
然后，斜边c由其投影边的总和确定：
c = m + n
由于三角形ADC和BCD的相似性，我们有：
上面是一样的：
通过求解腿“ a”以使相等的两个成员相乘，我们得到：
a * a = c * n
a 2 = c * n
因此，支路“ a”的值由下式给出：
同样，由于三角形ACB和ADC的相似性，我们有：
以上等于：
通过求解腿“ b”以使相等的两个成员相乘，我们得到：
b * b = c * m
b 2 = c * m
因此，支路“ b”的值由下式给出：
欧几里得定理之间的关系
关于高度和腿的定理彼此相关，因为两者的度量均针对直角三角形的斜边。
通过欧几里得定理的关系，还可以找到高度的值。这可以通过从腿定理中求解m和n的值并将其替换为高度定理来实现。这样，就可以实现高度等于腿的乘积除以斜边：
b 2 = c * m
m = b 2 ÷c
a 2 = c * n
n = a 2 ÷c
在高度定理中，我们替换m和n：
h c 2 = m * n
h c 2 =（b 2 ÷c）*（a 2 ÷c）
h c =（b 2 * a 2）÷c
解决的练习
例子1
给定三角形ABC，就在A处，如果AB = 30 cm和BD = 18 cm，则确定AC和AD的量度
解
在这种情况下，我们具有投影腿之一（BD）和原始三角形（AB）之一的测量。这样，腿定理可以被应用来求出腿BC的值。
AB 2 = BD * BC
（30）2 = 18 * BC
900 = 18 * BC
公元前= 900÷18
BC = 50厘米
已知BC = 50，可以找到支路CD的值：
CD = BC-BD
CD = 50-18 = 32厘米
现在可以再次应用支腿定理来确定支腿AC的值：
AC 2 = CD * BD
AC 2 = 32 * 50
AC 2 = 160
AC =√1600= 40厘米
为了确定高度（AD）的值，将应用高度定理，因为突出的腿CD和BD的值是已知的：
广告2 = 32 * 18
公元2 = 576
广告=√576
AD = 24厘米
例子2
确定三角形MNL的高度（h）的值，正好位于N中，知道分段的度量：
NL = 10厘米
MN = 5厘米
PM = 2厘米
解
我们测量了斜边（PM）上投影的一条腿的尺寸，以及原始三角形的两条腿的尺寸。通过这种方式，我们可以应用支腿的定理来找到另一条投影支腿（LN）的值：
NL 2 = PM * LM
（10）2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100÷5 = 20
由于已知腿和斜边的值，因此通过高度定理和腿的关系可以确定高度的值：
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h =（b 2 * a 2）÷c。
h =（10 2 * 5 2）÷（20）
h =（100 * 25）÷（20）
h = 2500÷20
h = 125厘米。
参考文献
- Braun，E.（2011年）。混乱，分形和奇怪的事物。经济文化基金。
- 卡布雷拉，VM（1974）。现代数学，第3卷。
- 丹尼尔·埃尔南德斯（Daniel Hernandez），DP（2014年）。三年级数学。加拉加斯：桑提拉纳。
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- RP，欧几里得（1886）。欧几里得的几何元素。
- 瓜德尼奥（AJ）（2000）。数学的遗产：从欧几里得到牛顿，天才通过他们的书。塞维利亚大学。