X ^ 2 + BX + C形式的三项式（包含示例） - 数学 - 2025

在学习求解形式为x ^ 2 + bx + c的三项式之前，甚至在知道三项式的概念之前，了解两个基本概念也是很重要的。即单项式和多项式的概念。单项式是a * x ⁿ类型的表达式，其中a是有理数，n是自然数，x是变量。

多项式是形式为_n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +…+ a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀的单项式的线性组合，其中每个a _i与i = 0，…，n为有理数，n为自然数，a_n为非零。在这种情况下，多项式的阶数为n。

由不同程度的仅两个项（两个单项式）之和形成的多项式称为二项式。

三项式

由不同程度的仅三个项（三个单项式）之和形成的多项式称为三项式。以下是三项式的示例：

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

三项式有几种类型。其中，理想的平方三项式突出。

完美平方三项式

理想的平方三项式是对二项式求平方的结果。例如：

• （3x-2）² = 9x ² -12x + 4
• （2x ³ + y）² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• （4x ² -2y ⁴）² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² =（1 / 4xy ⁴）² -2（1 / 4xy ⁴）z + z ² =（1 / 4xy ⁴ -z）²

2级三项式的特征

完美广场

通常，如果判别式等于零，则形式为ax ² + bx + c 的三项式是一个理想正方形。也就是说，如果b ² -4ac = 0，因为在这种情况下它将只有一个根，并且可以表示为a（xd）² =（√a（xd））²，其中d是已经提到的根。

多项式的根是其中多项式变为零的数字；换句话说，在多项式表达式中代入x时得出的数字为零。

解析公式

解析式公式是计算ax ² + bx + c 形式的二次多项式的根的一般公式，该公式指出这些根由（–b±√（b ² -4ac））/在图2a中，b ² -4ac被称为判别式，通常用∆表示。从这个公式可以得出ax ² + bx + c具有：

-如果∆> 0，则两个不同的实根。

-如果∆ = 0，则为单个实根。

-如果∆ <0，则没有真实根。

在下面的内容中，仅考虑x ² + bx + c 形式的三项式，其中显然c必须是除零以外的数字（否则它将是二项式）。这些类型的三项式在进行分解和运算时具有某些优势。

几何解释

几何上，三叉X ² + BX + c是向上开口，并具有在点顶点（-b / 2，-b抛物线²使得x笛卡尔平面的/ 4 + C）² + BX + C =（ X + b / 2）² -b ² /4 + C。

这个抛物线切断在Y在点（0，c）和X轴在点（d轴线₁，0）和（d ₂，0）; 则d ₁和d ₂是三项式的根。三项式可能只有一个根d，在这种情况下，唯一带有X轴的切口将是（d，0）。

也可能发生的是，三项式没有任何实根，在这种情况下，它在任何点都不会与X轴相交。

例如，x ² + 6x + 9 =（x + 3）² -9 + 9 =（x + 3）²是抛物线，其顶点位于（-3,0），与Y轴位于（0， 9）并指向（-3,0）的X轴。

三项式分解

使用多项式时一个非常有用的工具是因式分解，它包括将多项式表示为因数的乘积。通常，给定形式为x ² + bx + c 的三项式，如果它具有两个不同的根d ₁和d ₂，则可以将其分解为（xd ₁）（xd ₂）。

如果它具有单个根d，则可以将其分解为（xd）（xd）=（xd）²；如果它没有真实根，则保持不变；在这种情况下，它不承认因式分解是其自身以外因素的乘积。

这意味着，知道三项式的根已经建立的形式，就可以很容易地表达其因式分解，并且如上所述，可以始终使用分解器确定这些根。

但是，有很多这类三项式可以在不先了解其根的情况下进行分解，从而简化了工作。

可以直接从因式分解确定根，而无需使用分解公式；这些是x ² +（a + b）x + ab 形式的多项式。在这种情况下，我们有：

x ² +（a + b）x + ab = x ² + ax + bx + ab = x（x + a）+ b（x + a）=（x + b）（x + a）。

由此很容易看出根是–a和–b。

换句话说，给定一个三项式x ² + bx + c，如果有两个数字u和v使得c = uv和b = u + v，则x ² + bx + c =（x + u）（x + v）。

也就是说，给定一个三项式x ² + bx + c，首先验证是否有两个数字，使其相乘得到独立项（c）并相加（或减去，视情况而定），它们给出与x伴随的项（ b）。

并非所有三项式都可以这种方式应用；在不可能的情况下，使用分辨率，并且适用上述条件。

例子

例子1

要分解以下三项式x ² + 3x + 2，请执行以下操作：

您必须找到两个数字，使得它们相加时的结果为3，而相乘所得的结果为2。

经过检查后，可以得出结论：搜索到的数字为：2和1。因此，x ² + 3x + 2 =（x + 2）（x +1）。

例子2

为了分解三项式x ² -5x + 6，我们寻找两个和，它们的总和是-5，其乘积是6。满足这两个条件的数字是-3和-2。因此，给定三项式的因式分解是x ² -5x + 6 =（x-3）（x-2）。

参考文献

1. Fuentes，A.（2016年）。基本数学。微积分入门。Lulu.com。
2. Garo，M.（2014年）。数学：二次方程式：如何求解二次方程式。MarilùGaro。
3. Haeussler，EF和Paul，RS（2003）。管理和经济学数学。培生教育。
4. Jiménez，J.，Rofríguez，M。和Estrada，R。（2005）。9月1日数学。阈。
5. 康涅狄格州普雷西亚多（2005）。数学课程3。编辑Progreso。
6. 新墨西哥州洛克（2006）。代数我很简单！太简单。摇滚乐团新闻。
7. Sullivan，J.（2006年）。代数和三角学。培生教育。