甲双曲抛物面是一个表面，其一般方程在笛卡尔坐标系（X，Y，Z）满足下式：
（x / a）2-（y / b）2 -z = 0。
名称“抛物面”来自以下事实：变量z取决于变量x和y的平方。虽然形容词``双曲线''是由于以下事实：在z的固定值下，我们有一个双曲线方程。该表面的形状类似于马鞍的形状。
图1.双曲抛物面z = x 2 -y 2。资料来源：F. Zapata使用Wolfram Mathematica。
双曲抛物面的描述
为了理解双曲抛物面的性质，将进行以下分析：
1.-我们将采用a = 1，b = 1的特殊情况，也就是说，抛物面的笛卡尔方程仍为z = x 2 -y 2。
2.-平面被认为与ZX平面平行，即y = ctte。
3.- y = ctte时，保持z = x 2 -C，它表示抛物线，其分支向上且顶点在XY平面以下。
图2.曲线族z = x 2 -C。资料来源：F. Zapata使用Geogebra。
4.-当x = ctte时，仍为z = C-y 2，其表示分支向下且顶点在XY平面上方的抛物线。
图3.曲线族z = C-y 2。资料来源：F. Zapata通过Geogebra。
5.-当z = ctte时，仍为C = x 2 -y 2，它们表示平行于XY平面的双曲线。当C = 0时，有两条线（相对于X轴为+45º和-45º）在XY平面的原点相交。
图4.曲线族x 2 -y 2 =C。来源：F. Zapata使用Geogebra..
双曲抛物面的性质
1.-在三维空间中的四个不同点定义了一个且只有一个双曲抛物面。
2.-双曲抛物面是双直纹表面。这意味着，尽管曲面是曲面，但两条不同的线穿过双曲线抛物面的每个点，这些点完全属于双曲线抛物面。并非平面且被双重统治的另一个表面是旋转的双曲面。
正是由于双曲面抛物面的第二个特性使得它可以在建筑中广泛使用，因为它的表面可以由直光束或弦产生。
双曲线抛物面的第二个特性为其提供了另一种定义：它是可以由平行于固定平面的移动直线生成的表面，并且可以切割两条用作引导的固定线。下图阐明了双曲线抛物面的这个替代定义：
图5.双曲抛物面是双直纹表面。资料来源：F. Zapata。
工作实例
-范例1
证明等式：z = xy，对应于双曲线抛物面。
解
将对与笛卡尔轴相对于+45º的Z轴旋转相对应的x和y变量进行转换。根据以下关系，将旧的x和y坐标转换为新的x'和y'：
x = x'-y'
y = x'+ y'
而z坐标保持不变，即z = z'。
通过代入方程式z = xy，我们得到：
z'=（x'-y'）（x'+ y'）
通过将差值的显着乘积乘以等于平方差的和，可以得到：
Z '= X' 2 - Y' 2
这显然与最初给出的双曲线抛物面的定义相对应。
双曲抛物面z = xy平行于XY轴的平面的截距确定了等边双曲线，它们具有渐近线x = 0和y = 0的平面。
-示例2
确定穿过点A（0，0，0）的双曲线抛物面的参数a和b; B（1、1、5 / 9）；C（-2、1、32 / 9）和D（2，-1、32 / 9）。
解
根据其特性，三维空间中的四个点确定单个双曲线抛物面。一般公式为：
z =（x / a）2-（y / b）2
我们替换给定的值：
对于A点，我们有0 =（0 / a）2-（0 / b）2，无论参数a和b的值是多少，都满足一个方程。
替换点B，我们得到：
5/9 = 1 / A 2 - 1 / B 2
对于C点，它仍然是：
9分之32= 4 / A 2 - 1 / B 2
最后，对于点D，我们获得：
9分之32= 4 / A 2 - 1 / B 2
与前面的等式相同。最终，方程组必须求解：
5/9 = 1 / A 2 - 1 / B 2
9分之32= 4 / A 2 - 1 / B 2
从第一个方程减去第二个方程可得出：
27/9 = 3 / a 2表示a 2 = 1。
以类似的方式，从第一个方程的四倍减去第二个方程，得到：
（32-20）/ 9 = 4 / A 2 - 4 / A 2 -1 / B 2 + 4 / B 2
简化为：
12/9 = 3 / B 2 ⇒b 2 = 9/4。
简而言之，穿过给定点A，B，C和D的双曲抛物面具有由下式给出的笛卡尔方程：
z = x 2-（4/9）y 2
-范例3
根据双曲线抛物面的特性，两条线穿过每个点，它们完全包含在其中。对于z = x ^ 2-y ^ 2的情况，找到通过点P（0，1，-1）的两条线的方程，这些点明显属于双曲线抛物面，因此这些线的所有点也都属于相同。
解
利用平方差的显着乘积，可以将双曲抛物面方程式写成：
（x + y）（x-y）= cz（1 / c）
其中c是一个非零常数。
方程x + y = cz，方程x-y = 1 / c对应于两个具有法向矢量n = <1,1，-c>和m = <1，-1,0>的平面。向量乘积mxn = <-c，-c，-2>给我们两个平面相交线的方向。然后，穿过点P且属于双曲线抛物面的线之一具有参数方程：
为了确定c，我们将点P代入等式x + y = cz，获得：
c = -1
以类似的方式，但考虑方程式（x-y = kz）和（x + y = 1 / k），我们得到直线的参数方程式：
总而言之，这两行：
它们完全包含在通过点（0，1，-1）的双曲抛物面z = x 2 -y 2中。
作为检验，假设t = 1，这使我们在第一行上得到了点（1,2，-3）。您必须检查它是否也在抛物面z = x 2 -y 2上：
-3 = 1 2 - 2 2 = 1 - 4 = -3
这证实了它确实属于双曲线抛物面的表面。
建筑中的双曲线抛物面
图6.巴伦西亚（西班牙）海洋学资料来源：维基共享资源。
伟大的前卫建筑师在建筑中使用了双曲线抛物面，其中西班牙建筑师安东尼·高迪（AntoniGaudí（1852-1926））的名字尤其是西班牙费利克斯·坎德拉（FélixCandela）（1910-1997）的名字尤其突出。
以下是基于双曲抛物面的一些作品：
-库埃纳瓦卡（墨西哥）教堂的建筑师费利克斯·坎德拉（FélixCandela）的作品。
-FélixCandela撰写的《巴伦西亚（西班牙）海洋学》。
参考文献
- 数学百科全书。直纹表面。从以下资源中恢复：encyclopediaofmath.org
- LleraRubén。双曲抛物面。从以下网站恢复：rubenllera.wordpress.com
- Weisstein，EricW。“双曲抛物面”。来自MathWorld – Wolfram Web资源。从以下位置恢复：mathworld.wolfram.com
- 维基百科。抛物面。从以下位置恢复：en.wikipedia.com
- 维基百科。抛物面。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
- 维基百科。直纹的表面。从以下位置恢复：en.wikipedia.com