斜角梯形：属性，公式和方程式，示例 - 数学 - 2025

甲斜角肌梯形是具有四个侧面，其中两个是相互平行的，并与不同的措施其四个内角的多边形。

四边形ABCD如下所示，其中AB和DC边彼此平行。这足以使其成为梯形，而且内角α，β，γ和δ都不同，因此梯形为斜角。

图1.四边形ABCD在条件1下为梯形，在条件2下为斜角镜。资料来源：F. Zapata。

斜角梯形的元素

以下是最具特色的元素：

-底边：梯形的平行边是底边，两个不平行的边是边。

在斜角梯形中，基部的长度和侧部的长度也不同。但是，斜角梯形的横向长度可以等于基部。

-中位数：是连接外侧端点中点的线段。

-对角线：梯形的对角线是连接两个相对顶点的线段。像每个四边形一样，梯形也有两个对角线。在斜角梯形中，它们的长度不同。

其他梯形

除斜角梯形外，还有其他特殊的梯形：右梯形和等腰梯形。

梯形是矩形，当其角度之一为直角时，等腰梯形的边长相等。

梯形形状在设计和工业水平上具有许多应用，例如飞机机翼的配置，日常物品的形状，例如桌子，椅子靠背，包装，钱包，纺织品印花等等。

图2.梯形形状在飞机机翼配置中很常见。资料来源：维基共享资源。

物产

斜角梯形的特性在下面列出，其中许多扩展到其他类型的梯形。在下文中，当说出“梯形”时，该属性将适用于任何类型，包括斜角。

1.梯形的中点，即连接其不平行边的中点的线段，与任何底边平行。

2.-梯形的中值的长度是其底边的和的一半，并在中点切掉其对角线。

3.-梯形的对角线在一个点相交，将它们分为与基准商成比例的两个部分。

4.-梯形的对角线平方的总和等于其梯形的平方和其底数的两倍。

5.-连接对角线中点的线段的长度等于底边的半差。

6.-与侧面相邻的角度是互补的。

7.-在斜角梯形中，其对角线的长度不同。

8.-梯形只有在其底数之和等于其边之和时才具有内切周长。

9.-如果梯形具有一个内接的圆周，则与顶点在所述圆周的中心以及穿过梯形侧面的端部的侧面的角度是直的。

10.-斜角梯形没有外接圆，梯形的唯一类型是等腰。

公式和方​​程式

斜角梯形的以下关系参考下图。

1.-如果AE = ED并且BF = FC→EF-AB和EF-DC。

2.- EF =（AB + DC）/ 2，即：m =（a + c）/ 2。

3. DI = IB = d ₁ /2和AG = GC = d ₂ /2。

4.- DJ / JB =（c / a）类似地CJ / JA =（c / a）。

图3.斜角梯形的正中和对角线。资料来源：F. Zapata。

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB∙DC

等效地：

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a∙c

6.- GI =（AB-DC）/ 2

也就是说：

n =（a-c）/ 2

7.-α+δ=180⁰和β+γ=180⁰

8.-如果α≠β≠γ≠δ，则d1≠d2。

9.-图4显示了一个带有内接圆周的斜角梯形，在这种情况下，确实是：

a + c = d + b

10.-在以O为内接圆周的斜角梯形ABCD中，以下条件也成立：

ODAOD =∡BOC=90⁰

图4.如果在梯形中验证了其底边的总和等于侧边的总和，则其中刻有圆周。资料来源：F. Zapata。

高度

梯形的高度定义为从底部的一点垂直到相对的底部（或其延伸部分）的部分。

梯形的所有高度都具有相同的测量值h，因此在大多数情况下，单词高度是指其测量值。简而言之，高度是指底座之间的距离或间距。

高度h可以通过知道一侧的长度和与该侧相邻的角度之一来确定：

h = d Sen（α）= d Sen（γ）= b Sen（β）= b Sen（δ）

中位数

梯形中位数的度量m是底数的半和：

m =（a + b）/ 2

对角线

d ₁ =√

d ₂ =√

如果仅知道梯形边的长度，也可以计算出：

d ₁ =√

d ₂ =√

周长

周长是轮廓的总长度，即其所有边的总和：

P = a + b + c + d

区

梯形的面积是其底的半和乘以其高度：

A = h∙（a + b）/ 2

如果已知中位数m和高度h，也可以计算得出：

A = m∙h

如果仅知道梯形边的长度，则可以使用梯形的Heron公式确定面积：

A =∙√

其中s是半周长：s =（a + b + c + d）/ 2。

斜角梯形的其他比率

中线与对角线的交点以及穿过对角线交点的平行线产生其他关系。

图5.斜角梯形的其他关系。资料来源：F. Zapata。

-中位数EF的关系

EF =（a + c）/ 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-平行于底线KL并通过对角线交点J 的线段的关系

如果KL-AB-DC且J∈KL，则KJ = JL =（a∙c）/（a + c）

用尺子和罗盘构造斜角梯形

给定长度为a和c的基数，其中a> cy的长度为b和d的边，其中b> d，请按照以下步骤进行操作（见图6）：

1.-按照规则绘制主要AB的分段。

2.-从A se到AB标记点P，使AP = c。

3.-指南针的中心为P，半径为d时，将绘制圆弧。

4.-在半径为b的B处制作了一个中心，绘制了一条与上一步中绘制的弧相交的弧。我们称Q为交点。

图6.斜角梯形的侧面的构造。资料来源：F. Zapata。

5.-以A为中心，绘制半径为d的弧。

6.-以Q为中心，绘制一个半径为c的弧，该弧与上一步中绘制的弧相交。截止点称为R。

7.-用尺子绘制BQ，QR和RA段。

8.-四边形ABQR是斜角梯形，因为APQR是平行四边形，从而保证AB-QR。

例

以下长度以厘米为单位：7、3、4和6。

a）确定是否可以构造出可以外接圆的斜角梯形。

b）找到周长，面积，对角线的长度和梯形的高度以及内切圆的半径。

-解决方案

使用长度为7和3的线段为基础，长度为4和6的线段为边，可以使用上一节中描述的步骤构造斜角梯形。

仍然需要检查其是否有内切圆周，但要记住属性（9）：

我们有效地看到了这一点：

7 + 3 = 4 + 6 = 10

然后满足内接圆周的存在条件。

-解决方案b

周长

周边P是通过增加边而获得的。由于底座的总数为10，侧面的总数也为10，所以周长为：

P = 20厘米

区

为了确定仅已知其侧面的区域，可应用以下关系：

A =∙√

其中s是半周长：

s =（a + b + c + d）/ 2。

在我们的情况下，半周长值得s = 10厘米。替换各自的值后：

一个= 7厘米; b = 6厘米；c = 3厘米；d = 4厘米

遗迹：

A =√=（5/2）√63= 19.84平方厘米。

高度

高度h通过以下表达式与面积A相关：

A =（a + c）∙h / 2，可以通过清除以下公式来获得高度：

h = 2A /（a + c）= 2 * 19.84 / 10 = 3.988厘米

内切圆的半径

内切圆的半径等于高度的一半：

r = h / 2 = 1,984厘米

对角线

最后，我们找到对角线的长度：

d ₁ =√

d ₂ =√

正确地替代价值我们有：

d ₁ =√=√（36 + 21-7（20）/ 4）=√（22）

d ₂ =√=√（16 + 21-7（-20）/ 4）=√（72）

也就是说：d ₁ = 4.69厘米，d ₂ = 8.49厘米

图7.满足内接圆周存在条件的斜角梯形。资料来源：F. Zapata。

运动解决

确定底角为AB = a = 7，CD = c = 3且侧面角BC = b = 6，DA = d = 4的梯形内角。

解

余弦定理可以应用于确定角度。例如，角度φA=α由三角形ABD确定，其中AB = a = 7，BD = d2 = 8.49，DA = d = 4。

应用于该三角形的余弦定理如下：

d ₂ ² =一个² + d ² - 2∙一个∙d∙的Cos（α），即：

72 = 49 + 16-56∙Cos（α）。

求出角α的余弦：

余弦（α）= -1/8

即，α＝ ArcCos（-1/8）＝97.18⁰。

以相同的方式获得其他角度，它们的值是：

β=41.41⁰; γ=138.59⁰，最终δ=82.82⁰。

参考文献

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