向量代数：基础，量纲，向量 - 数学

的向量代数是数学的一个分支，它的线性方程组，向量，矩阵，向量空间和线性变换的研究系统。它涉及诸如工程，求解微分方程，功能分析，运筹学，计算机图形学等领域。

线性代数采用的另一个领域是物理学，因为通过它，有可能发展对物理现象的研究，并通过使用矢量来描述它们。这使人们对宇宙有了更好的理解。

基本原理

向量代数起源于对四元数（实数扩展）1，i，j和k的研究，以及Gibbs和Heaviside倡导的笛卡尔几何学，他们意识到向量将用作计算的工具。代表各种物理现象。

向量代数通过以下三个基本原理进行研究：

几何上

向量由具有方向的线表示，并且通过几何方法定义诸如加，减和乘实数之类的运算。

分析地

向量及其操作的描述是用称为分量的数字完成的。这种类型的描述是几何表示的结果，因为使用了坐标系。

公理地

不考虑坐标系或任何类型的几何表示，都对向量进行了描述。

对空间图形的研究是通过它们在参考系统中的表示来完成的，参考系统可以是一个或多个维度。主要系统包括：

-一维系统，是一条直线，其中一个点（O）表示原点，另一个点（P）决定比例（长度）及其方向：

-直角坐标系（二维），由两条正交的线（称为x轴和y轴）组成，它们通过点（O）起点；通过这种方式，平面被分为四个区域，称为象限。在这种情况下，平面中的点（P）由轴和P之间存在的距离给出。

-极坐标系（二维）。在这种情况下，系统由称为极的点O（原点）和以O为原点的光线（称为极轴）组成。在这种情况下，相对于极点和极轴，平面的点P由角度（Ɵ）给出，该角度由原点和点P之间存在的距离形成。

-由三个垂直线（x，y，z）组成的矩形三维系统，其原点是空间中的点O。形成三个坐标平面：xy，xz和yz；该空间将分为八个区域，称为八分圆。空间中点P的参考是由平面和P之间存在的距离给出的。

幅度

量值是可以通过数值来计数或测量的物理量，例如某些物理现象；但是，很多时候必须能够用数值以外的因素来描述这些现象。因此，量级分为两种类型：

标量值

它们是定义并用数字表示的数量。也就是说，通过一个模块和一个度量单位。例如：

a）时间：5秒。

b）质量：10公斤。

c）体积：40毫升。

d）温度：40ºC。

矢量幅度

它们是由模块，单位以及感官和方向定义和表示的数量。例如：

a）速度：（5ȋ-3ĵ）m / s

b）加速度：13 m / s ²；南纬45度。

c）力：280 N，120º。

d）重量：-40ĵkg-f。

向量数量由向量图形表示。

什么是向量？

向量是向量数量的图形表示；也就是说，它们是线段，其最终端是箭头的尖端。

这些取决于其模块或段的长度，其方向（由其箭头的尖端指示）以及其方向（根据其所属的线）来确定。载体的来源也称为应用点。

向量的元素如下：

模组

它是从原点到向量末端的距离，由实数和单位表示。例如：

-OM- = -A- = A = 6厘米

地址

它是x轴（从正方向）与矢量之间存在的角度的度量，并使用了基点（北，南，东和西）。

感

它由位于向量末尾的箭头给出，指示其去向。

载体分类

通常，向量分类为：

固定向量

它的应用点（来源）是固定的。也就是说，它仍然链接到空间中的某个点，因此它无法在其中移动。

免费矢量

它可以在空间中自由移动，因为它的原点可以移动到任何点，而无需更改其模块，方向或方向。

滑块矢量

它可以沿其作用线转移其原点，而无需更改其模块，方向或方向。

向量的性质

向量的主要特性如下：

向量团队

它们是具有相同模块，方向（或它们是平行的）并且感觉像滑动矢量或固定矢量的那些自由矢量。

等价向量

当两个向量具有相同的方向（或平行），相同的意义并且尽管具有不同的模块和应用点时，它们也会产生相同的效果。

向量相等

它们具有相同的模块，方向和感觉，即使它们的起点不同，这也允许并行向量自己翻译而不影响它。

相反向量

它们是具有相同模块和方向的模块，但含义相反。

单位向量

它是一个模块等于单位（1）的模块。这是通过将矢量除以其模块而获得的，并用于使用基本或归一化的单位矢量确定平面或空间中矢量的方向和方向：

空向量

它是一个模数等于0的模数；也就是说，它的起点和终点在同一点重合。

向量的组成

向量的组成部分是向量在参考系统的轴上的投影值; 根据矢量的分解，可以在二维或三维轴上，分别获得两个或三个分量。

向量的组成部分是实数，可以是正数，负数甚至零（0）。

因此，如果我们有一个向量Ā，其原点在xy平面（二维）的直角坐标系中，则x轴上的投影为Āx，y轴上的投影为Āy。因此，矢量将表示为其分量矢量的总和。

例子

第一个例子

我们有一个从原点开始的向量Ā，并给出了其末端的坐标。因此，载体A =（A _X，A _Ý）=（4，5）厘米。

如果向量Ā作用于三维三角坐标系（在空间中）x，y，z的原点，直到另一个点（P），则其坐标轴上的投影将为Āx，Āy和Āz；因此，向量将被表示为其三个分量向量之和。

第二个例子

我们有一个从原点开始的向量Ā，并给出了其末端的坐标。因此，矢量Ā＝（A _x，A _y， A _z）＝（4、6，-3）cm。

具有直角坐标的矢量可以根据其基本矢量表示。为此，每个坐标仅需乘以其各自的单位矢量，以使得对于平面和空间，它们将如下所示：

对于平面：Ā= A _x i + A _y j。

对于空间：Ā= A _x i + A _y j + A _z k。

向量运算

有许多具有模块，方向和方向的量，例如加速度，速度，位移，力等。

它们被应用于科学的各个领域，在某些情况下，有必要进行诸如矢量和标量的加法，减法，乘法和除法之类的运算。

向量的加法和减法

向量的加法和减法被认为是单个代数运算，因为减法可以写为和。例如，向量Ā和Ē的减法可以表示为：

Ā-Ē=Ā+（-Ē）

有多种执行矢量加法和减法的方法：它们可以是图形的或分析的。

图形方法

当向量具有模块，方向和方向时使用。为此，绘制了形成图形的线条，以后可以帮助确定结果。以下是最知名的：

平行四边形法

为了对两个向量进行加法或减法，在坐标轴上选择一个公共点-将代表向量的原点-并保持其模数，方向和方向。

然后平行于矢量绘制线以形成平行四边形。结果向量是从两个向量的原点到平行四边形的顶点的对角线：

三角法

在这种方法中，向量彼此依次放置，并保持其模块，方向和方向。产生的向量将是第一个向量的起点与第二个向量的结尾的并集：

分析方法

可以通过几何或矢量方法添加或减去两个或多个矢量：

几何方法

当两个向量形成三角形或平行四边形时，m）.push（{}）;

-标量分布特性：如果向量乘以两个标量之和，则等于每个标量的向量相乘。

向量乘法

向量的乘积或乘积可以通过加法或减法来完成，但这样做会失去其物理意义，几乎在应用程序中从未发现过。因此，最常用的乘积类型是标量和矢量乘积。

标量产品

它也被称为两个向量的点积。当两个向量的模乘以它们之间形成的最小角度的余弦时，就得到了一个标量。为了表达两个向量之间的标量积，在它们之间放置一个点，可以将其定义为：

两个向量之间存在的角度值取决于它们是平行的还是垂直的。因此，您必须：

-如果向量平行且具有相同的方向，则余弦0º= 1。

-如果向量平行且方向相反，则余弦180º= -1。

-如果向量垂直，则余弦90º= 0。

知道以下情况也可以计算该角度：

点积具有以下属性：

-可交换属性：向量的顺序不会改变标量。

-分布属性：如果将标量乘以两个向量的总和，则等于每个向量的标量的乘积。

矢量积

向量乘法或两个向量A和B的叉积将产生一个新的向量C，并用向量之间的叉表示：

新载体将具有自己的特征。那样：

-方向：此新矢量将垂直于平面，该平面由原始矢量确定。

-方向：这是根据右手法则确定的，矢量A向B旋转，表示用手指旋转的方向，而矢量的方向则用拇指标记。

-模数：由矢量AxB的模数乘以这些矢量之间存在的最小角度的正弦来确定。它表示为：

两个向量之间存在的角度值将取决于它们是平行还是垂直。因此，可以声明以下内容：

-如果向量是平行的并且具有相同的方向，则正弦0º= 0。

-如果向量平行且方向相反，则正弦180º= 0。

-如果向量垂直，则正弦90º= 1。

当向量乘积以其基本向量表示时，我们具有：