布尔代数：历史，定理和假设，示例 - 数学 - 2025

的布尔代数或布尔代数是用于二进制变量的治疗代数符号。它涵盖了只有两个可能的结果（互补和互斥）的任何变量的研究。例如，只有布尔变量是真或假，正确或不正确，开或关的变量才是布尔代数研究的基础。

布尔代数构成了数字电子学的基础，这使其在当今已经相当流行。它受逻辑门的概念支配，传统代数中的已知运算会受到显着影响。

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历史

布尔代数由英国数学家乔治·布尔（George Boole，1815-1864）于1854年提出，他是当时的自学成才学者。他的关注源于奥古斯都·德·摩根和威廉·汉密尔顿之间关于定义此逻辑系统的参数之间存在的争执。

乔治·布尔（George Boole）认为，数值0和1的定义在逻辑领域分别对应于Nothing和Universe的解释。

乔治·布尔的意图是通过代数的性质来定义处理二进制类型变量所必需的命题逻辑的表达式。

1854年，布尔代数的最重要部分在《逻辑和概率的数学理论所基于的思想定律的调查》一书中发表。

这个奇特的标题以后将被概括为“思想定律”（“思想定律”）。由于当时的数学界立即引起了人们的关注，因此该标题声名fa起。

1948年，克劳德·香农（Claude Shannon）将其应用于双稳态电气开关电路的设计。这是对布尔代数在整个电子数字方案中的应用的介绍。

结构体

这种代数的基本值是0和1，分别对应于FALSE和TRUE。布尔代数的基本运算为3：

-AND运算或相加。以句点（。）表示。产品的同义词。

-或操作或析取。用叉号（+）表示。

-禁止操作或否定。用前缀NOT（非A）表示。它也被称为补充。

如果将A 2的内部组成定律定义为乘积和之和（。+），则可以说三元（A. +）是布尔代数，当且仅当所述三元满足成为格的条件时分配的。

要定义分布晶格，必须在给定操作之间满足分布条件：

。关于和+ a是分布的。（b + c）=（a.b）+（a.c）

+相对于产品是分配性的。 a +（b.c）=（a + b）。（a + c）

组成集合A的元素必须是二进制的，因此具有Universe或void值。

应用领域

它的主要应用场景是数字分支，该分支用于构造构成所涉及的逻辑运算的电路。有利于优化过程的电路简化技术是布尔代数正确应用和实践的结果。

从配电盘的制作，数据的传输到达到不同语言的编程，我们经常可以在各种数字应用程序中找到布尔代数。

布尔变量在编程结构中非常常见。根据所使用的编程语言，代码中将使用这些变量进行结构化操作。每种语言的条件和参数都允许使用布尔变量来定义过程。

假设

有一些定理控制布尔代数的结构逻辑定律。以相同的方式，根据所执行的操作，有一些假设可以知道二进制变量的不同组合中的可能结果。

总和（+）

为二进制变量定义逻辑元素为并（U）的OR运算符，如下所示：

0 + 0 = 0

0 +1 = 1

1 + 0 = 1

1 +1 = 1

产品（。）

为二进制变量定义逻辑元素为交点（∩）的AND运算符，如下所示：

0。0 = 0

0。1 = 0

一。0 = 0

一。1 = 1

相反（不）

为二进制变量定义逻辑元素为补码（X）的NOT运算符，如下所示：

非0 = 1

非1 = 0

许多假设与常规代数中的假设不同。这是由于变量的域。例如，在布尔代数（1 + 1）中添加Universe元素不能得出常规结果2，因为它不属于二进制集的元素。

定理

零规则与统一

定义任何涉及带有二进制变量的元素的简单操作：

0 + A = A

1 + A = 1

0。A = 0

一。A = A

平等权力或幂等

相等变量之间的运算定义为：

A + A = A

至 。A = A

补全

变量及其补数之间的任何运算都定义为：

A +非A = 1

至 。非A = 0

内卷或双重否定

任何双重否定将被视为自然变量。

不（不A）= A

可交换的

A + B = B + A; 和的可交换性。

至 。B =B。至; 产品的可交换性。

联想的

A +（B + C）=（A + B）+ C = A + B + C; 总和的关联性。

至 。（B.C）=（A.B）。C =A。B．C; 产品关联性。

分配式

A +（B.C）=（A + B）。（A + C）；总和相对于产品的分布。

至 。（B + C）=（A.B）+（A + C）; 乘积相对于总和的分布。

吸收定律

在多个参考文献中有许多吸收定律，其中一些最著名的是：

至 。（A + B）= A

至 。（非A + B）=A。乙

非A（A + B）=非A。乙

（A + B）。（A +非B）= A

A +A。B = A

A +不A。B = A + B

不是A +A。B =非A + B

至 。B +A。非B = A

摩根定理

它们是变换定律，它处理在布尔代数（+。）的定义操作之间相互作用的变量对。

非（A.B）=非A +非B

非（A + B）=非A。不是B

A + B =不（不A +不B）

至 。B =不（不A.不B）

二元性

所有的假设和定理都具有二元性。这意味着通过交换变量和运算，可以验证结果命题。也就是说，将0交换为1，将AND交换为OR，反之亦然；创建的表达式也将完全有效。

例如，如果假定

一。0 = 0

并应用二元性

0 +1 = 1

获得另一个完全有效的假设。

卡诺地图

卡诺图是布尔代数中用于简化逻辑功能的图。它由类似于命题逻辑真值表的二维排列组成。真值表中的数据可以直接在卡诺地图上捕获。

卡诺地图可容纳多达6个变量的过程。对于具有更多变量的函数，建议使用软件以简化过程。

它是由Maurice Karnaugh于1953年提出的，它是布尔代数领域中的固定工具，因为它的实现使人类的潜力与简化布尔表达式的需求同步，而布尔表达式是数字处理流程中的关键方面。

例子

布尔代数用于减少电路中的逻辑门，其中优先事项是使电路的复杂性或级别达到其最低可能的表达。这是由于每个门假定的计算延迟。

在下面的示例中，我们将使用布尔代数的定理和假设来观察将逻辑表达式简化为最小表达式的过程。

不（AB + A + B）。不（A +不B）

不。非（A +非B）; 用公因数分解A。

不。非（A +非B）; 根据定理A +1 = 1。

不（A + B）。非（A +非B）; 由定理A 1 = A

（不是A.不是B）。;

根据摩根定理NOT（A + B）= NOTA。不是B

（不是A.不是B）。（不A. B）；通过双重否定定理NOT（NOT A）= A

不是 不是B. 不是 B; 代数分组。

不是 不是 不是B. B; 产品A的可交换性。B =B。至

不是 不是B. B; 由定理A A = A

不是 0; 由定理A 非A = 0

0; 由定理A 0 = 0

至 。B．C +不是A +A。不是B. C

至 。C。（B + NOT B）+ NOT A; 因数分解（A.C）。

至 。C。（1）+非A; 根据定理A + NOT A = 1

至 。C +非A; 根据零定理和统一性1。A = A

不是A + C; 根据Morgan A + NOT A的法律。B = A + B

对于此解决方案，必须将摩根定律扩展为定义：

不（不）。C +非A =非A + C

因为通过对合，NOT（NOT A）=A。

简化逻辑功能

不是 不是B. 不是C +不是A。不是B. C +非A。NOT C降至最小值

不是 不是B. （不是C + C）+不是A。不是C; 因式分解（NO A. NOT B）

不是 不是B. （1）+不是。不是C; 根据定理A + NOT A = 1

（不是A.不是B）+（不是A.不是C）; 根据零定理和统一性1。A = A

不是A（不是B +不是C）; 用公因数分解NOT A

不是 不（BC）; 根据摩根法律，NOT（A. B）= NOT A + NOT B

不是根据摩根法律，不是（A. B）=不是A +不是B

粗体显示的4个选项中的任何一个都代表一种可能的解决方案，它可以减少电路的电平。

将逻辑功能简化为最简单的形式

（A. NOT B. C + A. NOT B. B. D + NOT A. NOT B）。C

（A. NOT B. C + A.0。D + NOT A. NOT B）。C; 由定理A 非A = 0

（A. NOT B. C + 0 + NOT A. NOT B）。C; 由定理A 0 = 0

（A.不是B. C +不是A.不是B）。C; 由定理A + 0 = A

至 。不是B. C。C +非A。不是B. C; 通过产品相对于总和的分布

至 。不是B. C +非A。不是B. C; 由定理A A = A

不是B. C（A + NOT A）；因数分解（非公元前）

不是B. C（1）；根据定理A + NOT A = 1

不是B. C; 根据零定理和统一性1。A = A

参考文献

1. 布尔代数及其应用J. Eldon Whitesitt。大陆出版公司，1980年。
2. 计算机科学中的数学与工程。克里斯托弗·范·威克（Christopher J.Van Wyk）。计算机科学与技术研究所。国家标准局。华盛顿特区20234
3. 计算机科学数学。埃里克·雷曼（Eric Lehman）。Google Inc.

   F Thomson Leighton麻省理工学院数学系以及计算机科学和AI实验室；Akamai Technologies。

4. 抽象分析的要素。MícheálO'Searcoid博士。数学系。都柏林大学学院，贝尔菲尔德，都柏林。
5. 逻辑和演绎科学方法论概论。纽约牛津大学的阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）。牛津大学出版社。