的辛普森的规则是用于计算，大约，定积分的方法。它基于将积分间隔分为偶数个等间隔的子间隔。
两个连续子间隔的极值定义三个点，方程式为二阶多项式的抛物线可拟合三个点。
图1.在辛普森方法中，积分间隔被细分为相等宽度的偶数个间隔。该函数在每2个子间隔中由抛物线近似，而积分由在抛物线下方的面积之和近似。资料来源：upv.es。
然后在两个连续间隔中函数曲线下的面积由插值多项式的面积近似。将对所有连续子区间的抛物线下面积的贡献相加，我们得到积分的近似值。
另一方面，由于抛物线的积分可以精确地代数计算，因此可以找到确定积分的近似值的解析公式。它被称为辛普森公式。
随着细分数n的增加（n为偶数），由此获得的近似结果的误差减小。
当已经对总间隔的n个规则子间隔进行了划分时，将在下面给出一个表达式，该表达式允许估计近似误差对积分I的上限。
式
积分间隔细分为n个子间隔，其中n为偶数整数。每个细分的宽度为：
h =（b-a）/ n
通过这种方式，可以在以下时间间隔内进行分区：
{X0，X1，X2，…，Xn-1，Xn}
其中X0 = a，X1 = X0 + h，X2 = X0 + 2h，…，Xn-1 = X0 +（n-1）h，Xn = X0 + nh = b。
允许近似计算区间中连续函数（最好是平滑函数）的定积分I的公式为：
示范
为了获得辛普森公式，在每个子间隔中，函数f（X）近似为通过三点的二次多项式p（X）（抛物线）：和。
然后计算多项式p（x）的积分，在该区间内它近似于函数f（X）的积分。
图2.展示辛普森公式的图表。资料来源：F. Zapata。
插值多项式的系数
抛物线的等式p（X）的一般形式为：p（X）= AX 2 + BX +C。当抛物线通过红色指示的点Q（见图）时，系数A，B，C由以下方程式确定：
A（-h）2 -B h + C = f（Xi）
C = f（Xi + 1）
A（h）2 + B h + C = f（Xi + 2）
可以看出，确定了系数C。为了确定系数A，我们将第一个和第三个方程相加，得到：
2 A h 2 + 2 C = f（Xi）+ f（Xi + 2）。
然后，将C的值替换并清除A，剩下：
A = /（2小时2）
为了确定系数B，从第一个方程中减去第三个方程，然后求解B，得到：
B ＝＝ 2小时。
总之，通过点Qi，Qi + 1和Qi + 2的二阶多项式p（X）的系数为：
A = /（2小时2）
B = = 2小时
C = f（Xi + 1）
计算近似积分
积分的近似计算
如前所述，在总积分区间上，以步骤h = Xi + 1-Xi =（b-a）/ n进行分区{X0，X1，X2，…，Xn-1，Xn} n是偶数。
近似误差
请注意，误差随着间隔中细分数的四次方而减小。例如，如果您从n个细分转到2n，那么误差将减少1/16倍。
通过辛普森近似获得的误差的上限可以从相同的公式中获得，用四阶导数替换区间中的四阶导数的最大绝对值。
工作实例
-范例1
考虑函数f（X）= 1 /（1 + X 2）。
使用具有两个细分（n = 2）的辛普森方法在区间上找到函数f（X）的定积分。
解
我们取n =2。积分的极限是a = -1和b = -2，因此分区看起来像这样：
X0 = -1; X1 = 0和X2 = +1。
因此，辛普森的公式采用以下形式：
图3.使用软件通过辛普森规则进行数值积分的示例。资料来源：F. Zapata。
参考文献
- Casteleiro，JM，2002年。《综合微积分》（插图版）。马德里：ESIC社论。
- UPV。辛普森的方法。瓦伦西亚理工大学。从以下网址恢复：youtube.com
- Purcell，E.，2007年。微积分第九版。学徒大厅。
- 维基百科。辛普森的统治。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
- 维基百科。拉格朗日多项式插值。从以下位置恢复：es.wikipedia.com