的圆柱坐标，使用在三维空间中，以定位点和包括一个径向坐标ρ，φ方位坐标和高度的Z坐标。
位于空间中的点P正交投影在XY平面上，从而在该平面上产生点P'。从原点到点P的距离定义了坐标ρ，而X轴和射线OP之间的夹角定义了坐标φ。最后，z坐标是点P在Z轴上的正交投影。（见图1）。
图1.圆柱坐标（ρ，φ，z）的点P。（自行阐述）
径向坐标ρ始终为正，方位角坐标φ从零弧度到两个pi弧度变化，而z坐标可以取任意实数值：
0≤ρ<∞
0≤φ<2π
-∞<z <+∞
坐标变更
从点P的圆柱坐标（ρ，φ，z）获得笛卡尔坐标（x，y，z）相对容易：
x =ρcos（φ）
y =ρsin（φ）
z = z
但是从点P的笛卡尔坐标（x，y，z）的知识开始，也可以获得极坐标（ρ，φ，z）：
ρ=√（x 2 + y 2）
φ=反正切（y / x）
z = z
圆柱坐标中的向量基
定义了圆柱单位矢量Uρ，Uφ，Uz的基。
向量Uρ与线φ= ctte和z = ctte（沿径向向外）相切，向量Uφ与线ρ= ctte和z = ctte相切，最后Uz具有与Z轴相同的方向。
图2.圆柱坐标系。（维基共享资源）
在圆柱单位基座中，矢量的点P 的位置矢量r的写法如下：
r = ρUρ + 0Uφ + z Uz
另一方面，从点P起的无穷小位移d r表示如下：
d r = dρUρ + ρdφUφ + dz Uz
类似地，圆柱坐标中体积dV的无穷小元素为：
dV =ρdρdφdz
例子
圆柱坐标的使用和应用有无数示例。例如，在制图学中，正是基于这些坐标使用了圆柱投影。还有更多示例：
例子1
圆柱坐标在技术中有应用。例如，我们在硬盘上有CHS（汽缸盖扇区）数据定位系统，该系统实际上由几个磁盘组成：
-圆柱体或轨道对应于坐标ρ。
-该扇区对应于以高角速度旋转的磁盘的位置φ。
-磁头对应于相应磁盘上读取头的z位置。
信息的每个字节在圆柱坐标（C，S，H）中都有一个精确的地址。
图2.信息在硬盘系统上的圆柱坐标系中的位置。（维基共享资源）
例子2
建筑起重机将载荷的位置固定在圆柱坐标系中。水平位置由到起重机的轴线或箭头ρ的距离及其相对于某个参考轴线的角位置φ定义。负载的垂直位置由高度的z坐标确定。
图3.建筑起重机上的负载位置可以很容易地用圆柱坐标表示。（图像-注释R.Pérez）
解决的练习
练习1
有具有圆柱坐标（3，120º，-4）的点P1和具有圆柱坐标（2，90º，5）的点P2。找到这两点之间的欧几里得距离。
解决方案：首先，我们按照上述公式找到每个点的笛卡尔坐标。
P1 =（3 * cos120º，3 * sin120º，-4）=（-1.5，2.60，-4）
P2 =（2 * cos90º，2 * sin90º，5）=（0，2，5）
P1和P2之间的欧式距离是：
d（P1，P2）=√（（0-（-1.5））2 +（2-2.60）2 +（5-（-4））2）=…
…√（2.25 + 0.36 + 81）= 9.14
练习2
点P具有笛卡尔坐标（-3、4、2）。找到相应的圆柱坐标。
解决方案：我们继续使用上面给出的关系找到圆柱坐标：
ρ=√（x 2 + y 2）=√（（-3）2 + 4 2）=√（9 + 16）=√（25）= 5
φ=反正切（y / x）=反正切（4 /（-3））=-53.13º+180º=126.87º
z = 2
应当记住，反正切函数是具有180º周期性的多值。同样，角度φ必须属于第二象限，因为点P的x和y坐标在该象限中。这就是为什么将180º添加到结果φ的原因。
练习3
以圆柱坐标和笛卡尔坐标表示，半径为2且其轴与Z轴重合的圆柱体表面。
解决方案：可以理解，圆柱体在z方向上具有无限的延伸，因此，该表面在圆柱坐标系中的方程为：
ρ= 2
为了获得圆柱表面的笛卡尔方程，采用前面方程的两个成员的平方：
ρ 2 = 4
我们将先前等式的两个成员都乘以1，然后应用基本三角恒等式（sin 2（φ）+ cos 2（φ）= 1）：
1 *ρ 2 = 1 * 4
（SIN 2（φ）+ COS 2（φ））*ρ 2 = 1 * 4
括号被开发为获得：
（ρsin（φ））2 +（ρcos（φ））2 = 4
我们记得第一个圆括号（ρsin（φ））是极坐标中点的y坐标，而圆括号（ρcos（φ））代表x坐标，因此我们在坐标中具有圆柱方程笛卡尔
y 2 + x 2 = 2 2
上面的方程式不应与XY平面中的圆周方程式混淆，因为在这种情况下，它看起来像这样：{y 2 + x 2 = 2 2; z = 0}。
练习4
半径为R = 1 m且高度为H = 1m的圆柱体根据以下公式D（ρ）= C（1--ρ/ R）沿径向分布，其中C为常数C = 1 kg / m 3。查找以千克为单位的圆柱体总质量。
解决方案：首先要认识到，函数D（ρ）表示体积质量密度，并且质量密度分布在从中心到外围密度递减的圆柱壳中。根据问题的对称性，体积的无穷小元素为：
dV =ρdρ2πH
因此，圆柱壳的无穷小质量为：
dM = D（ρ）dV
因此，圆柱的总质量将由以下定积分表示：
M =∫ 或R D（ρ）dV =∫ 或R C（1-ρ/ R）ρdρ2πH =2πHC∫ 或R（1-ρ/ R）ρdρ
指示积分的解不难获得，其结果是：
∫ 或R（1-ρ/ R）ρdρ=（⅙）R 2
将这个结果结合到圆柱体的质量表达式中，我们得到：
M =2πHC（⅙）R 2 = ⅓πHCR 2 =
ππ1m * 1kg / m 3 * 1m 2 =π/ 3 kg≈1.05千克
参考文献
- Arfken G和Weber H.（2012年）。物理学家的数学方法。全面的指南。第7版。学术出版社。书号978-0-12-384654-9
- 计算cc。解决了圆柱坐标和球坐标。从以下位置恢复：calculo.cc
- Weisstein，EricW。“圆柱坐标”。来自MathWorld – Wolfram网站。从以下位置恢复：mathworld.wolfram.com
- 维基百科。圆柱坐标系。从以下位置恢复：en.wikipedia.com
- 维基百科。圆柱坐标和球坐标中的矢量场。从以下位置恢复：en.wikipedia.com