一个标准正交基与载体形成彼此垂直的，并且其弹性模量也为1（单位矢量）。让我们记住，向量空间V中的基B被定义为能够产生所述空间的一组线性独立向量。
反过来，向量空间是一个抽象的数学实体，其元素包括向量，这些向量通常与诸如速度，力和位移之类的物理量相关联，或者也与矩阵，多项式和函数相关联。
图1.平面中的正交基准。资料来源：维基共享资源。Quartl。
向量具有三个独特的元素：大小或模量，方向和方向。正交基对表示和操作它们特别有用，因为可以将属于某个矢量空间V的任何矢量写成形成正交基的矢量的线性组合。
以这种方式，分析地执行向量之间的运算，例如加法，减法和在所述空间中定义的不同类型的乘积。
在物理学中最常用的基础之一是由单位矢量i，j和k形成的基础，这些单位矢量表示三维空间的三个不同方向：高度，宽度和深度。这些向量也称为单位规范向量。
相反，如果向量在平面中工作，则这三个分量中的两个就足够了，而对于一维向量，则只需要一个即可。
基地的性质
1-B是生成向量空间V的向量的最小可能集合。
2-B的元素是线性独立的。
3-向量空间V的任何基数B都允许将V的所有向量表示为其线性组合，并且这种形式对于每个向量都是唯一的。因此，B也称为发电系统。
4-同一向量空间V可以具有不同的底数。
基地的例子
以下是正交基和一般基的几个示例：
ℜ的规范基础
也称为自然碱或ℜ的标准碱Ñ，其中ℜ Ñ是n维空间中，例如三维空间ℜ 3。n的值称为向量空间的维数，并表示为dim（V）。
属于ℜ所有矢量ň被责令正广告表示。对于空间ℜ ñ，规范的依据是：
e 1 = <1,0，。。。，0>; e 2 = <0.1。。。，0>; …….. e n = <0.0，。。。，1>
在此示例中，我们对单位矢量e 1，e 2，e 3… 使用带括号或“括号”的粗体表示法。
ℜ的规范基础
熟悉的矢量我，Ĵ和ķ承认此相同的表示，并且所有三个都是足以代表在ℜ载体3：
i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
这意味着可以这样表示基数：
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
为了验证它们是线性独立的，与它们形成的行列式为非零且也等于1：
F = <4，-7.0> N = 4 i -7 j + 0 kN。
因此，i，j和k构成a 3的发电机系统。
ℜ中的其他正交基准
上一部分中描述的标准基准不是is 3中唯一的正交基准。例如，这里有基础：
B 1 = {
B 2 = {<3/5，4 / 5.0>; <-4/5，3 / 5.0>; <0,0,1>}
可以证明这些基数是正交的，为此我们记住必须满足的条件：
-形成基的向量必须彼此正交。
-每个人必须是统一的。
我们可以知道由它们形成的行列式必须为非零且等于1来验证这一点。
基数B 1恰好是圆柱坐标ρ，φ和z 的基数，这是在空间中表达矢量的另一种方式。
图2.圆柱坐标。资料来源：维基共享资源。数学爱好者。
解决的练习
-练习1
证明底数B = {<3/5，4 / 5,0>; <-4/5，3 / 5.0>; <0,0,1>}是正交的。
解
为了显示向量彼此垂直，我们将使用标量积，也称为两个向量的内部或点积。
让任意两个向量u和v的点积定义为：
u • v =紫外线cosθ
为了区分其模块的向量，我们将在第一个字母中使用粗体，在第二个字母中使用普通字母。θ是u和v之间的角度，因此，如果它们垂直，则表示θ=90º，并且标量积为零。
或者，如果向量是根据其分量给出的：u =
u • v = u x.v x + u y.v y + u z.v z
这样，每对向量之间的标量积分别为：
i）<3/5，4 / 5,0>•<-4/5，3 / 5,0> =（3/5）。（-4/5）+（4/5）。（（3 / 5）+ 0.0 =（-12/25）+（12/25）= 0
ii）<3/5，4 / 5.0>•<0，0.1> = 0
iii）<-4/5，3 / 5.0>•<0，0.1> = 0
对于第二个条件，计算每个向量的模，可以通过以下方式获得：
│u│=√（u x 2 + u y 2 + u z 2）
因此，每个向量的模块为：
│<3/5，4 / 5,0>│=√=√=√（25/25）= 1
│<-4/5，3 / 5,0>│=√=√=√（25/25）= 1
│<0，0.1>│=√= 1
因此，这三个都是单位向量。最后，它们形成的行列式非零且等于1：
-练习2
根据上面的基数写出向量w的坐标w = <2，3,1>。
解
为此，使用以下定理：
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 +…< w • v n > v n
这意味着我们可以使用系数< w • v 1 >，< w • v 2 >，…< w • v n > 将向量写在基数B中，为此我们必须计算出指示的标量积：
<2，3,1>•<3/5，4 / 5,0> =（2）。（3/5）+（3）。（4/5）+ 1.0 =（6/5）+（12 / 5）= 18/5
<2，3,1>•<-4/5，3 / 5,0> =（2）。（-4/5）+（3）。（3/5）+ 1.0 =（-8/5） +（9/5）= 1/5
<2，3,1>•<0,0,1> = 1
获得标量积后，便构造了一个矩阵，称为w坐标矩阵。
因此，基B中向量w的坐标表示为：
B =
坐标矩阵不是向量，因为向量与其坐标不同。这些只是一组数字，用于在给定的碱基中表达载体，而不是这样的载体。它们还取决于所选的基准。
最后，遵循该定理，向量w将表示如下：
w =（18/5）v 1 +（1/5）v 2 + v 3
其中：v 1 = <3/5，4 / 5,0>; v 2 = <-4/5，3 / 5.0>; v 3 = <0,0,1>}，即基数B的向量。
参考文献
- Larson，R.线性代数的基础。6号 版。圣智学习。
- Larson，R.，2006年。微积分。7号 版。第二卷。麦格劳·希尔。
- 萨拉斯，线性代数。单元10。正交基础。从以下网站恢复：ocw.uc3m.es。
- 塞维利亚大学。圆柱坐标。向量基。从以下位置恢复：laplace.us.es。
- 维基百科。正交基。摘自：es.wikipedia.org。