函数f（x）的反导数 F（x）也称为原始函数，或者简称为该函数的不定积分，如果在给定的间隔I中满足F´（x）= f（x）
例如，让我们采用以下功能：
f（x）= 4x 3
此函数的反导数为F（x）= x 4，因为使用幂的导数规则对F（x）求微分时：
我们精确地得到f（x）= 4x 3。
但是，这只是f（x）的许多反导数之一，因为这另一个函数：G（x）= x 4 + 2也是这样，因为当相对于x求G（x）时，可以得到相同的结果。返回f（x）。
让我们来看看：
请记住，常数的导数为0。因此，我们可以将任意常数添加到项x 4中，其导数将保持为4x 3。
可以得出结论，一般形式为F（x）= x 4 + C的任何函数都可以作为f（x）的反导数，其中C为实常数。
上面的说明性示例可以这样表示：
dF（x）= 4x 3 dx
反导或不定积分用符号∫表示，因此：
F（X）=∫4x 3 DX = X 4 + C
函数f（x）= 4x 3称为积分数，而C是积分常数。
抗衍生物的例子
图1.反导数仅是一个不定积分。资料来源：
在某些已知导数的情况下，找到函数的反导数很简单。例如，让函数f（x）= sin x，它的反导数是另一个函数F（x），这样通过对它求微就可以得到f（x）。
该函数可以是：
F（x）=-cos x
让我们检查它是否正确：
F´（x）=（-cos x）´=-（-sen x）= sin x
因此我们可以这样写：
∫senx dx = -cos x + C
除了了解导数外，还有一些基本且简单的积分规则可以找到反导数或不定积分。
令k为实常数，则：
1.-∫kdx = k∫dx= kx + C
2.-∫kf（x）dx = k∫f（x）dx
如果函数h（x）可以表示为两个函数的加法或减法，则其不定积分为：
3.-∫h（x）dx =∫dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx
这是线性的特性。
积分的幂定律可以通过以下方式建立：
对于n = -1的情况，使用以下规则：
5. - ∫x -1 dx = ln x + C
容易证明ln x的导数正好是x -1。
微分方程
微分方程是发现未知数为导数的方程。
现在，从前面的分析中，很容易认识到对导数的逆运算是反导数或不定积分。
令f（x）= y´（x），即某个函数的导数。我们可以使用以下符号来表示该派生词：
紧随其后的是：
微分方程的未知数是函数y（x），其导数是f（x）。为了解决这个问题，前面的表达式在两边都集成了，等效于应用反导数：
左积分通过积分规则1（k = 1）求解，从而求解所需的未知数：
并且由于C是一个实常数，要知道在每种情况下哪一个是适当的，该语句必须包含足够的附加信息来计算C的值。这称为初始条件。
我们将在下一部分中看到所有这些应用程序的示例。
反导演习
-练习1
应用积分规则以获得给定函数的以下反导数或不定积分，从而尽可能简化结果。通过推导验证结果很方便。
图2.反导数或定积分的练习。资料来源：
解决方案
我们首先应用规则3，因为被积是两个项的和：
∫（x + 7）dx =∫xdx +∫7dx
对于第一个积分，幂规则适用：
∫DX =（X 2 /2）+ C 1
在第二个积分规则1中，其中k = 7：
∫7dx=7∫dx= 7x + C 2
现在，结果已添加。这两个常量被分组为一个，通常称为C：
∫（X + 7）= DX（X 2 /2）+ 7×+ C
解决方案b
通过线性将该积分分解为三个更简单的积分，将对其应用幂规则：
∫（X 3/2 + X 2 + 6）DX =∫x 3/2 DX +∫x 2 DX +∫6DX =
请注意，每个积分都会出现一个积分常数，但它们在单个调用C中会合。
解决方案c
在这种情况下，利用乘法的分布特性来开发被积物很方便。然后，像上一练习中一样，使用幂规则分别找到每个积分。
∫（x +1）（3x-2）dx =∫（3x 2 -2x + 3x-2）dx =∫（3x 2 + x-2）dx
细心的读者会注意到，这两个中心术语是相似的，因此在集成之前将它们简化：
∫（X + 1）（3×2）= DX∫3x 2 DX +∫X DX +∫-2 DX = X 3 +（1/2）× 2 - 2 + C
解决方案
解决积分的一种方法是开发功率，如示例d所示。但是，由于指数较高，建议更改变量，以免进行如此长时间的开发。
变量的变化如下：
u = x + 7
将此表达式推导给双方：
du = dx
使用新变量将积分转换为一个更简单的积分，可以使用幂规则求解：
∫（x + 7）5 dx =∫u 5 du =（1/6）u 6 + C
最后，返回更改以返回到原始变量：
∫（x + 7）5 dx =（1/6）（x + 7）6 + C
-练习2
粒子最初处于静止状态，并沿x轴移动。t> 0的加速度由函数a（t）= cos t给出。已知在t = 0时，位置均为x = 3，全部以国际系统为单位。要求找到粒子的速度v（t）和位置x（t）。
解
由于加速度是速度相对于时间的一阶导数，因此我们具有以下微分方程：
a（t）= v´（t）= cos t
它遵循：
v（t）=∫cos t dt = sin t + C 1
另一方面，我们知道速度反过来就是位置的导数，因此我们重新积分：
X（t）=∫V（t）的DT =∫（SIN T + C 1）DT =∫sen吨DT +∫C 1 DT = - COS T + C 1 T + C 2
积分常数由语句中给出的信息确定。首先，它说粒子最初是静止的，因此v（0）= 0：
v（0）=正弦0 + C 1 = 0
C 1 = 0
那么我们有x（0）= 3：
x（0）=-cos 0 + C 1 0 + C 2 =-1 + C 2 = 3→C 2 = 3 + 1 = 4
速度和位置函数肯定是这样的：
v（t）=罪恶t
x（t）=-cos t + 4
参考文献
- Engler，A.2019。积分微积分。国立法律大学。
- Larson，R.2010。变量的计算。9号 版。麦格劳·希尔。
- 数学免费课本。抗衍生物。从以下位置恢复：math.liibretexts.org。
- 维基百科。反导。摘自：en.wikipedia.org。
- 维基百科。无限整合。摘自：es.wikipedia.org。