函数f(x)的反导数 F(x)也称为原始函数,或者简称为该函数的不定积分,如果在给定的间隔I中满足F´(x)= f(x)
例如,让我们采用以下功能:
f(x)= 4x 3
此函数的反导数为F(x)= x 4,因为使用幂的导数规则对F(x)求微分时:
我们精确地得到f(x)= 4x 3。
但是,这只是f(x)的许多反导数之一,因为这另一个函数:G(x)= x 4 + 2也是这样,因为当相对于x求G(x)时,可以得到相同的结果。返回f(x)。
让我们来看看:
请记住,常数的导数为0。因此,我们可以将任意常数添加到项x 4中,其导数将保持为4x 3。
可以得出结论,一般形式为F(x)= x 4 + C的任何函数都可以作为f(x)的反导数,其中C为实常数。
上面的说明性示例可以这样表示:
dF(x)= 4x 3 dx
反导或不定积分用符号∫表示,因此:
F(X)=∫4x 3 DX = X 4 + C
函数f(x)= 4x 3称为积分数,而C是积分常数。
抗衍生物的例子
图1.反导数仅是一个不定积分。资料来源:
在某些已知导数的情况下,找到函数的反导数很简单。例如,让函数f(x)= sin x,它的反导数是另一个函数F(x),这样通过对它求微就可以得到f(x)。
该函数可以是:
F(x)=-cos x
让我们检查它是否正确:
F´(x)=(-cos x)´=-(-sen x)= sin x
因此我们可以这样写:
∫senx dx = -cos x + C
除了了解导数外,还有一些基本且简单的积分规则可以找到反导数或不定积分。
令k为实常数,则:
1.-∫kdx = k∫dx= kx + C
2.-∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
如果函数h(x)可以表示为两个函数的加法或减法,则其不定积分为:
3.-∫h(x)dx =∫dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
这是线性的特性。
积分的幂定律可以通过以下方式建立:
对于n = -1的情况,使用以下规则:
5. - ∫x -1 dx = ln x + C
容易证明ln x的导数正好是x -1。
微分方程
微分方程是发现未知数为导数的方程。
现在,从前面的分析中,很容易认识到对导数的逆运算是反导数或不定积分。
令f(x)= y´(x),即某个函数的导数。我们可以使用以下符号来表示该派生词:
紧随其后的是:
微分方程的未知数是函数y(x),其导数是f(x)。为了解决这个问题,前面的表达式在两边都集成了,等效于应用反导数:
左积分通过积分规则1(k = 1)求解,从而求解所需的未知数:
并且由于C是一个实常数,要知道在每种情况下哪一个是适当的,该语句必须包含足够的附加信息来计算C的值。这称为初始条件。
我们将在下一部分中看到所有这些应用程序的示例。
反导演习
-练习1
应用积分规则以获得给定函数的以下反导数或不定积分,从而尽可能简化结果。通过推导验证结果很方便。
图2.反导数或定积分的练习。资料来源:
解决方案
我们首先应用规则3,因为被积是两个项的和:
∫(x + 7)dx =∫xdx +∫7dx
对于第一个积分,幂规则适用:
∫DX =(X 2 /2)+ C 1
在第二个积分规则1中,其中k = 7:
∫7dx=7∫dx= 7x + C 2
现在,结果已添加。这两个常量被分组为一个,通常称为C:
∫(X + 7)= DX(X 2 /2)+ 7×+ C
解决方案b
通过线性将该积分分解为三个更简单的积分,将对其应用幂规则:
∫(X 3/2 + X 2 + 6)DX =∫x 3/2 DX +∫x 2 DX +∫6DX =
请注意,每个积分都会出现一个积分常数,但它们在单个调用C中会合。
解决方案c
在这种情况下,利用乘法的分布特性来开发被积物很方便。然后,像上一练习中一样,使用幂规则分别找到每个积分。
∫(x +1)(3x-2)dx =∫(3x 2 -2x + 3x-2)dx =∫(3x 2 + x-2)dx
细心的读者会注意到,这两个中心术语是相似的,因此在集成之前将它们简化:
∫(X + 1)(3×2)= DX∫3x 2 DX +∫X DX +∫-2 DX = X 3 +(1/2)× 2 - 2 + C
解决方案
解决积分的一种方法是开发功率,如示例d所示。但是,由于指数较高,建议更改变量,以免进行如此长时间的开发。
变量的变化如下:
u = x + 7
将此表达式推导给双方:
du = dx
使用新变量将积分转换为一个更简单的积分,可以使用幂规则求解:
∫(x + 7)5 dx =∫u 5 du =(1/6)u 6 + C
最后,返回更改以返回到原始变量:
∫(x + 7)5 dx =(1/6)(x + 7)6 + C
-练习2
粒子最初处于静止状态,并沿x轴移动。t> 0的加速度由函数a(t)= cos t给出。已知在t = 0时,位置均为x = 3,全部以国际系统为单位。要求找到粒子的速度v(t)和位置x(t)。
解
由于加速度是速度相对于时间的一阶导数,因此我们具有以下微分方程:
a(t)= v´(t)= cos t
它遵循:
v(t)=∫cos t dt = sin t + C 1
另一方面,我们知道速度反过来就是位置的导数,因此我们重新积分:
X(t)=∫V(t)的DT =∫(SIN T + C 1)DT =∫sen吨DT +∫C 1 DT = - COS T + C 1 T + C 2
积分常数由语句中给出的信息确定。首先,它说粒子最初是静止的,因此v(0)= 0:
v(0)=正弦0 + C 1 = 0
C 1 = 0
那么我们有x(0)= 3:
x(0)=-cos 0 + C 1 0 + C 2 =-1 + C 2 = 3→C 2 = 3 + 1 = 4
速度和位置函数肯定是这样的:
v(t)=罪恶t
x(t)=-cos t + 4
参考文献
- Engler,A.2019。积分微积分。国立法律大学。
- Larson,R.2010。变量的计算。9号 版。麦格劳·希尔。
- 数学免费课本。抗衍生物。从以下位置恢复:math.liibretexts.org。
- 维基百科。反导。摘自:en.wikipedia.org。
- 维基百科。无限整合。摘自:es.wikipedia.org。