所述部分分数是由多项式形成的分数，其中分母可以是线性或二次多项式，并且也可以升为幂。有时，当我们拥有有理函数时，将其重写为部分分数或简单分数的总和非常有用。
之所以如此，是因为以这种方式我们可以更好地操纵这些功能，尤其是在需要集成所述应用程序的情况下。有理函数只是两个多项式之间的商，它们可以是适当的或不合适的。
如果分子的多项式的次数小于分母，则称为有理固有函数；否则，它被称为不当有理函数。
定义
当我们有一个不正确的有理函数时，我们可以将分子的多项式除以分母的多项式，从而按照除法将其重写为分数p（x）/ q（x）/ t（x）+ s（x）/ q（x），其中t（x）是多项式，而s（x）/ q（x）是适当的有理函数。
如果多项式ax 2 + bx + c没有实数根并且n是一个数字，则偏分数是多项式的任何适当函数，其分母的形式为（ax + b）n或（ax 2 + bx + c）n自然。
为了用分式重写有理函数，首先要做的是将分母q（x）分解为线性和/或二次因子的乘积。一旦完成，将确定部分分数，这取决于这些因素的性质。
案例
我们分别考虑几种情况。
情况1
q（x）的因子都是线性的，没有重复。也就是说：
q（x）=（a 1 x + b 1）（a 2 x + b 2）…（a s x + b s）
没有线性因子与另一个相同。发生这种情况时，我们将写：
p（x）/ q（x）= A 1 /（a 1 x + b 1）+ A 2 /（a 2 x + b 2）…+ A s /（a s x + b s）。
其中A 1，A 2，…，A s是要找到的常数。
例
我们希望将有理函数分解为简单的分数：
（x-1）/（x 3 + 3x 2 + 2x）
我们继续考虑分母，即：
x 3 + 3x 2 + 2x = x（x +1）（x + 2）
然后：
（x-1）/（x 3 + 3x 2 + 2x）=（x-1）/ x（x + 1）（x + 2）
（x-1）/ x（x + 1）（x + 2）= A / x + B /（x + 1）+ C /（x + 2）
应用最小公倍数，可以得出：
x-1 = A（x + 1）（x + 2）+ B（x + 2）x + C（x + 1）x。
我们想要获得常数A，B和C的值，可以通过替换抵消每个项的根来找到它们。用0代替x我们有：
0-1 = A（0 + 1）（0 + 2）+ B（0 + 2）0 + C（0 + 1）0。
-1 = 2A
A =-1/2。
用x代替1我们有：
1-1 = A（-1 + 1）（-1 + 2）+ B（-1 + 2）（-1）+ C（-1 + 1）（-1）。
-2 =-B
B = 2。
用2代替x我们有：
-2-1 = A（-2 + 1）（-2 + 2）+ B（-2 + 2）（-2）+ C（-2 + 1）（-2）。
–3 = 2C
C = –3/2。
这样就得到了值A = –1/2，B = 2和C = –3/2。
还有另一种获取A，B和C值的方法。如果在等式的右侧x-1 = A（x + 1）（x + 2）+ B（x + 2）x + C（x + 1）x我们结合的条件，我们有：
x-1 =（A + B + C）x 2 +（3A + 2B + C）x + 2A。
由于这是多项式的等式，因此我们必须使左侧的系数等于右侧的系数。这导致以下方程组：
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A =-1
解决此方程组，我们得到的结果为A = –1 / 2，B = 2和C = -3/2。
最后，将获得的值替换为：
（x-1）/ x（x + 1）（x + 2）=-1 /（2x）+ 2 /（x + 1）-3 /（2（x + 2））。
情况二
q（x）的因子都是线性的，有些是重复的。假设（ax + b）是重复“ s”次的因子；然后，与该因子相对应的是«s»分部的总和。
A s /（ax + b）s + A s-1 /（ax + b）s-1 +…+ A 1 /（ax + b）。
其中，A s，A s-1，…，A 1是要确定的常数。在下面的示例中，我们将展示如何确定这些常数。
例
分解为部分分数：
[x-1）/（x 2（x-2）3）
我们将有理函数编写为部分分数的和，如下所示：
（x-1）/（x 2（x-2）3）= A / x 2 + B / x + C /（x-2）3 + D /（x-2）2 + E /（x-2 ）。
然后：
x-1 = A（x-2）3 + B（x-2）3 x + Cx 2 + D（x-2）x 2 + E（x-2）2 x 2
用2代替x，我们得到：
7 = 4C，即C = 7/4。
用0代替x我们有：
-1 = –8A或A = 1/8。
将这些值代入先前的方程式并进行开发，我们得到：
X - 1 = 1/8（X 3 - 6× 2 + 12× - 8）+ Bx的（X 3 - 6× 2 + 12× - 8）+ 7/4× 2 + DX 3 - 2DX 2 +实施例2（X 2 - 4倍+ 4）
x-1 =（B + E）x 4 +（1/8-6B + D-4E）x 3 +（-¾+ 12B + 7/4-2D + 4E）x 2 +（3/2-8B） x-1。
等于系数，我们得到以下方程组：
B + E = 0;
1 / 8-6B + D-4E = 1;
-3/4 + 12B + 7/4-2D + 4E = 0
3/2-8B = 0。
解决该系统，我们有：
B = 3/16；D = 5/4；E =-3/16。
为此，我们必须：
（x-1）/（x 2（x-2）3）=（1/8）/ x 2 +（3/16）/ x +（7/4）/（x-2）3 +（5 / 4）/（x-2）2-（3/16）/（x-2）。
情况3
q（x）的因子是线性二次因子，没有任何重复的二次因子。在这种情况下，二次因子（ax 2 + bx + c）将对应于部分分数（Ax + B）/（ax 2 + bx + c），其中常数A和B是要确定的常数。
以下示例显示了这种情况下的处理方法
例
分解成简单的分数a（x +1）/（x 3-1）。
首先，我们继续分解分母，从而得出结果：
（x-1）=（x-1）（x + x +1）。
我们可以观察到（x 2 + x + 1）是不可约的二次多项式；也就是说，它没有真正的根源。其分解为部分馏分如下：
（x +1）/（x-1）（x 2 + x +1）= A /（x-1）+（Bx + C）/（x 2 + x +1）
由此得出以下等式：
x + 1 =（A + B）x 2 +（A-B + C）x +（A-C）
使用多项式的相等性，我们得到以下系统：
A + B = 0;
A-B + C = 1；
A-C = 1；
从这个系统中，我们得出A = 2/3，B =-2/3，C = 1/3。替换为：
（x +1）/（x-1）（x 2 + x +1）= 2/3（x-1）-（2x +1）/ 3（x 2 + x +1）。
案例4
最后，情况4是其中q（x）的因子是线性和二次的，其中一些线性二次因子是重复的。
在这种情况下，如果（ax 2 + bx + c）是重复“ s”次的二次因子，则与因子（ax 2 + bx + c）对应的部分分数将为：
（A 1 x + B）/（ax 2 + bx + c）+…+（A s-1 x + B s-1）/（ax 2 + bx + c）s-1 +（A s x + B s）/（ax 2 + bx + c）s
其中，A s，A s-1，…，A和B s，B s-1，…，B是要确定的常数。
例
我们想将以下有理函数分解为部分分数：
（X - 2）/（X（X 2 - 4X + 5）2）
由于x 2 - 4×+ 5被一个不可约因子二次，我们认为其分解成部分分式由下式给出：
（X - 2）/（X（X 2 - 4X + 5）2）= A / X +（Bx的+ C）/（X 2 - 4×5）+（DX + E）/（X 2 - 4X + 5）2
简化和开发，我们有：
X - 2 = A（X 2 - 4X + 5）2 +（Bx的+ C）（X 2 - 4X + 5）X +（DX + E）X
x-2 =（A + B）x 4 +（-8A-4B + C）x 3 +（26A + 5B-4C + D）x 2 +（-40A + 5C + E）x + 25A。
根据以上内容，我们得到以下方程式的系统：
A + B = 0;
-8A-4B + C = 0;
26A + 5B-4C + D = 0;
-40A + 5C + E = 1;
25A = 2。
在求解系统时，我们剩下：
A =-2/25，B = 2/25，C =-8/25，D = 2/5和E =-3/5。
通过替换获得的值，我们有：
（X - 2）/（X（X 2 - 4X + 5）2）= -2 / 25X +（2× - 8）/ 25（X 2 - 4×5）+（2× - 3）/ 5（X 2 -4x + 5）2
应用领域
积分演算
部分分数主要用于积分的研究。这是一些如何使用部分分数执行积分的示例。
例子1
我们希望计算以下各项的积分：
我们可以看到分母q（x）=（t + 2）2（t +1）由线性因子组成，其中重复其中之一；这就是为什么我们处于情况2。
我们必须：
1 /（t + 2）2（t + 1）= A /（t + 2）2 + B /（t + 2）+ C /（t + 1）
我们重写方程式，我们得到：
1 = A（t +1）+ B（t + 2）（t +1）+ C（t + 2）2
如果t =-1，我们有：
1 = A（0）+ B（1）（0）+ C（1）
1 = C
如果t =-2，它给我们：
1 = A（-1）+ B（0）（-1）+ C（0）
A =-1
然后，如果t = 0：
1 = A（1）+ B（2）（1）+ C（2）
替换A和C的值：
1 =-1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B =-2
从上面我们可以得出B =-1。
我们将积分重写为：
我们通过替换方法来解决它：
结果如下：
例子2
解决以下积分：
在这种情况下，我们可以将q （x）= x 2-4分解为q（x）=（x-2）（x + 2）。我们显然处于情况1。因此：
（5x-2）/（x-2）（x + 2）= A /（x-2）+ B /（x + 2）
它也可以表示为：
5x-2 = A（x + 2）+ B（x-2）
如果x =-2，我们有：
-12 = A（0）+ B（-4）
B = 3
如果x = 2：
8 = A（4）+ B（0）
A = 2
因此，剩下的就是求解给定的积分等于求解：
结果就是：
例子3
解决积分：
我们有q（x）= 9x 4 + x 2，我们可以将其分解为q（x）= x 2（9x 2 +1）。
这次我们有一个重复的线性因子和一个二次因子；也就是说，我们处于情况3。
我们必须：
1 / x 2（9x 2 +1）= A / x 2 + B / x +（Cx + D）/（9x 2 +1）
1 = A（9x 2 +1）+ Bx（9x 2 +1）+ Cx 2 + Dx 2
分组并使用相等的多项式，我们有：
1 =（9B + C）x +（9A + D）x + Bx + A
A = 1；
B = 0；
9A + D = 0;
9B + C = 0
通过该方程组，我们可以：
D =-9和C = 0
这样，我们可以：
通过解决以上问题，我们有：
群众行动法则
在化学中，更确切地说在质量作用定律中，发现了将部分分数应用于积分演算的有趣应用。
假设我们有两个物质A和B结合在一起并形成物质C，因此在任何给定时刻C量相对于时间的导数与A量和B量的乘积成比例。
我们可以将群众行动定律表达如下：
在此表达式中，α是对应于A的初始克数，而β是对应于B的初始克数。
此外，r和s分别代表结合在一起形成r + s C克的A和B的克数。就其本身而言，x代表在时间t处物质C的克数。比例常数。上面的等式可以重写为：
进行以下更改：
我们认为等式变为：
通过此表达式，我们可以获得：
如果a≠b，则可以使用部分分数进行积分。
例
让我们以一个物质C与一个物质B结合而产生的物质C为例，当a和b的值分别为8和6时，满足质量定律。给出一个方程，该方程使我们得出C的克数与时间的函数关系。
用给定的质量定律替换值，我们有：
当分离变量时，我们有：
在这里，1 /（8-x）（6- x）可以写成部分分数的和，如下所示：
因此1 = A（6-x）+ B（8-x）
如果用6代替x，则B = 1/2。并用8代替x，我们得到A =-1/2。
通过部分分数进行积分，我们得到：
结果就是：
微分方程：逻辑方程
可以提供给部分分数的另一个应用是对数微分方程。在简单的模型中，我们认为人口的增长率与人口的大小成正比。也就是说：
这种情况是理想的，并被认为是现实的，直到系统中可用资源不足以支持人口。
在这种情况下，最合理的事情是认为系统可以维持最大的容量（我们称其为L），并且增长率与人口数量乘以可用数量成正比。该参数导致以下微分方程：
该表达式称为对数微分方程。它是一个可分离的微分方程，可以用部分分数积分法求解。
例
一个例子是考虑根据以下逻辑微分方程y'= 0.0004y（1000-y）增长的种群，其初始数据为400。我们想知道在t = 2时种群的大小，其中t被测量多年。
如果我们使用莱布尼兹的符号将y'表示为依赖于t的函数，则我们具有：
可以使用部分分数积分法来求解左侧的积分：
我们可以如下重写最后一个等式：
-替换y = 0，我们得出A等于1/1000。
-代入y = 1000，我们得到B等于1/1000。
有了这些值，积分如下：
解决方案是：
使用初始数据：
清算时，我们有：
那么我们在t = 2时得到：
总之，两年后，人口规模约为597.37。
参考文献
- A，RA（2012）。数学1.洛斯安第斯大学。出版理事会。
- I. Cortez和C. Sanchez（nd）。801解析积分。国立实验大学。
- Leithold，L。（1992）。具有解析几何的计算。南哈拉
- Purcell，EJ，Varberg，D。，&Rigdon，SE（2007）。计算。墨西哥：培生教育。
- 塞恩斯（J.）积分演算。斜边。