- 向量的元素
- 向量的矩形分量
- 向量的极性形式
- 种类
- 正交单位向量
- 向量加法
- 向量加法的性质
- 向量范例
- 向量之间的其他运算
- 标量和向量的乘积
- 向量之间的点积或点积
- 向量之间的叉积或向量积
- 单位向量之间的叉积
- 解决的练习
- -练习1
- 解
- -练习2
- 解
- 参考文献
所述载体是具有通常伴随着测量单元-positiva-大小和方向以及数学实体。这些特性非常适合描述速度，力，加速度等物理量。
使用向量可以执行加法，减法和乘积之类的运算。没有为矢量定义除法，对于乘积，我们将在后面描述三类：点乘积或点，矢量乘积或叉与标量乘以矢量的乘积。
图1.向量的元素。资料来源：维基共享资源。
为了完整描述向量，必须指出其所有特征。大小或模数是带有单位的数值，而方向和方向是借助坐标系确定的。
让我们看一个例子：假设一架飞机以850 km / h的速度从一个城市向NE方向飞行。在这里，我们有一个完全指定的向量，因为可以得到幅度：850 km / h，而方向和方向是NE。
向量通常由定向线段图形表示，其长度与大小成比例。
在指定方向和方向时，需要一条参考线，通常是水平轴，尽管也可以将北作为参考，这是平面速度的情况：
图2.速度矢量。资料来源：F. Zapata。
该图显示了平面的速度矢量，以粗体表示为v，以将其与标量区别开，标量仅需要一个数值和一个指定的单位。
向量的元素
如前所述，向量的元素是：
-幅度或模块，有时也称为向量的绝对值或范数。
-地址
-感
在图2的示例中，v的模量为850 km / h。模量表示为无粗体的v或-v-，其中的横条表示绝对值。
v的方向相对于北方指定。在这种情况下，它位于东部以北45º（NE45º）。最后，箭头的尖端表明了v的意义。
在此示例中，绘制的矢量原点与坐标系的原点O一致，这被称为链接矢量。另一方面，如果向量的原点与参考系统的原点不一致，则称其为自由向量。
应该注意的是，要完全指定向量，必须注意这三个元素，否则向量的描述将不完整。
向量的矩形分量
图3.平面中向量的矩形分量。资料来源：维基共享资源。乌兰特
在图像中，我们返回了示例向量v，它在xy平面上。
很容易看出v在x和y坐标轴上的投影确定了直角三角形。这些投影是v y和 v x，被称为v的矩形分量。
用其矩形分量表示v的一种方法是这样的：v =
如果向量在三维空间中，则需要再加上一个分量，因此：
v =
知道计算矢量的大小的矩形的部件，相当于找到正确的三角形，其腿的v的斜边X和v 和 。通过勾股定理，可以得出：
向量的极性形式
当向量的幅度- v -和角度θ，它与所述参考轴，一般横轴使得，是已知的，所述载体也被指定。然后称该载体以极性形式表达。
在这种情况下，矩形分量很容易计算：
根据以上所述，平面速度矢量v的矩形分量将为：
种类
向量有几种类型。有速度，位置，位移，力，电场，动量等向量。正如我们已经说过的，在物理学中有大量的矢量。
关于具有某些特征的向量，我们可以提及以下类型的向量：
-Null：这些是大小为0的矢量，并表示为0。请记住，粗体字母表示矢量的三个基本特征，而普通字母仅表示模块。
例如，在静态平衡的物体上，力的总和必须为零向量。
- 自由和链接：自由向量是指其起点和到达点是平面或空间中的任意一对点的向量，与链接向量不同，链接向量的起点与描述它们的参考系统的起点一致。
由偶合力产生的偶合或力矩是自由矢量的一个很好的例子，因为偶合不适用于任何特定点。
- 等值线：它们是两个具有相同特征的自由向量。因此，它们具有相等的大小，方向和感觉。
- 共面或共面：属于同一平面的向量。
- 相反：矢量的大小和方向相同，但方向相反。与向量v相对的向量是向量-v，且两者之和为空向量：v +（- v）= 0。
- 并发：作用线都通过同一点的向量。
- 滑块：是那些载体，其应用点可沿着特定线滑动。
- 共线：位于同一行的向量。
- 酉：那些载体，其模块为1。
正交单位向量
物理学中有一种非常有用的矢量类型，称为正交单位矢量。正交单位向量具有等于1的模，并且单位可以是任何单位，例如速度，位置，力或其他单位。
有一组特殊向量可帮助轻松表示其他向量并对其执行操作：它们是正交单位向量i，j和k，单位彼此垂直。
在二维中，这些向量沿x轴和y轴的正方向指向。并且在三个维度上，沿z轴正方向添加单位矢量。它们表示如下：
i = <1，0.0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
一个向量可以用单位向量i，j和k表示，如下所示：
v = v x i + v y j + v z k
例如，前面示例中的速度矢量v可以写成：
v = 601.04 i + 601.04 j km / h
k中的分量不是必需的，因为该矢量在平面中。
向量加法
向量的总和在各种情况下非常频繁地出现，例如，当您想要在受各种力影响的对象上找到合力时。首先，假设我们在平面上有两个自由向量u和v，如左图所示：
图4.两个向量的图形和。资料来源：维基共享资源。卢克·卡巴纳赫（Lluc Cabanach）。
立即将其小心地转移到向量v上，而无需更改其大小，方向或方向，以使其原点与u的末端重合。
根据右图，向量和称为w，并从u开头，以v结束。重要的是要注意，向量w的大小不一定是v和u的大小之和。
如果仔细考虑，结果向量的大小是加数的大小之和的唯一时间就是两个加数方向相同且意义相同时。
如果载体不是免费的，会发生什么？添加它们也非常容易。做到这一点的方法是将成分添加到成分或分析方法中。
作为示例，让我们考虑下图中的向量，首先是用前面解释的笛卡尔方法之一来表达它们：
图5.两个链接向量的总和。资料来源：维基共享资源。
v = <5.1>
u = <2,3>
要获得和向量w的x分量，请将v和u的相应x分量相加：w x = 5 + 2 = 7。为了获得w y，遵循一个类似的过程：w y = 1 + 3。从而：
u = <7.4>
向量加法的性质
-两个或多个向量的总和产生另一个向量。
-是可交换的，加数的顺序不会更改总和，其方式如下：
u + v = v + u
-向量和的中性元素是零向量：v + 0 = v
-将两个向量相减定义为相反的和：v-u = v + （-u ）
向量范例
正如我们已经说过的，物理学中有许多向量。其中最著名的是：
-位置
-移位
-平均速度和瞬时速度
-加速
-力
-运动量
-扭矩或力矩
-冲动
-电场
-磁场
-磁矩
另一方面，它们不是向量而是标量：
-天气
-质量
-温度
-卷
-密度
-机械工作
-能源
-热
-功率
-电压
-电流
向量之间的其他运算
除了矢量的加法和减法，矢量之间还有其他三个非常重要的运算，因为它们会产生新的非常重要的物理量：
-标量乘以向量的乘积。
-矢量之间的点积或点积
-两个向量之间的叉或向量积。
标量和向量的乘积
考虑牛顿第二定律，该定律指出力F和加速度a成比例。比例常数是对象的质量m，因此：
F =米 至
质量是一个标量；就其本身而言，力和加速度是向量。由于力是通过将质量乘以加速度来获得的，因此它是标量和矢量乘积的结果。
这种类型的乘积始终会产生一个向量。这是另一个示例：移动量。令P为动量矢量，v为速度矢量，一如既往，m为质量：
P =米 v
向量之间的点积或点积
我们已将机械功放在不是矢量的数量清单上。但是，物理学中的工作是矢量在标量积，内积或点积之间进行运算的结果。
让向量v和u定义它们之间的点或标量积为：
v ∙ ü = - v - ∙ - ü -.cosθ
θ是两者之间的夹角。从所示方程式中可以立即得出点积的结果是标量，并且如果两个向量都是垂直的，则它们的点积也为0。
回到机械功W，这是力矢量F和位移矢量ℓ的标量积。
当向量在其成分方面可用时，点积也非常容易计算。如果v =
v ∙ u = v x u x + v y u y + v z u z
向量之间的点积是可交换的，因此：
v ∙ u = u ∙ v
向量之间的叉积或向量积
如果v和 u是我们的两个示例向量，则将向量乘积定义为：
v x u = w
紧接着，叉积产生一个向量，其模量定义为：
其中θ是向量之间的角度。
叉积不是可交换的，因此v x u≠u x v。实际上v x u =-（u x v）。
如果两个示例向量均以单位向量表示，则向量乘积的计算将得到简化：
v = v x i + v y j + v z k
u = u x i + u y j + u z k
单位向量之间的叉积
相同单位向量之间的叉积为零，因为它们之间的夹角为0º。但是在不同的单位矢量之间，它们之间的角度为90º，sin90º= 1。
下图有助于查找这些产品。沿箭头方向为正，反方向为负：
i x j = k，j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j
应用分布属性，该属性对于向量之间的乘积加上单位向量的属性仍然有效，我们有：
v x u =（v x i + v y j + v z k）x（u x i + u y j + u z k）=
解决的练习
-练习1
给定向量：
v = -5 i + 4 j + 1 k
u = 2 我 -3 j + 7 k
对于和v + u + w为 6 i +8 j -10 k，向量w必须是多少？
解
因此，必须满足以下条件：
答案是：w = 9 i +7 j -18 k
-练习2
练习1中向量v和u之间的夹角是多少？
解
我们将使用点积。根据定义，我们有：
v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15
替换这些值：
参考文献
- Figueroa，D.（2005年）。系列：科学与工程物理。第1卷。运动学。由Douglas Figueroa（USB）编辑。
- Giancoli，D.，2006年。《物理：应用原理》。6号 埃德·普伦蒂斯·霍尔（Ed Prentice Hall）。
- Rex，A.，2011年。《物理学基础》。皮尔森
- 西曼·泽曼斯基。2016.大学物理与现代物理学。14日 编辑卷1。
- Serway，R.，Jewett，J.2008。《科学与工程物理》。第1卷。第7卷。Ed。Cengage学习。