物理学的轨迹：特征，类型，示例和练习 - 物理 - 2025

物理学中的轨迹是移动设备在移动过程中经过连续点时所描述的曲线。由于可以采用多种变体，因此移动设备可以遵循的轨迹也将如此。

为了从一个地方到达另一个地方，一个人可以采取不同的路径和方式：步行穿过街道和大街上的人行道，或者乘汽车或摩托车到达高速公路。在森林中漫步时，远足者可能会走复杂的路，包括转弯，在高度上或在水平上下降，甚至多次经过同一点。

图1.将每个位置向量的端点合并在一起，可以得到粒子所遵循的路径。资料来源：阿尔加拉比亚

如果移动站所经过的点遵循一条直线，则轨迹将是直线的。这是最简单的路径，因为它是一维的。指定位置需要一个坐标。

但是移动设备可以遵循曲线路径，可以关闭或打开。在这些情况下，跟踪位置需要两个或三个坐标。这些分别是在平面和空间上的运动。这与链接有关：限制运动的物质条件。一些例子是：

-描述围绕太阳的行星的轨道是椭圆形的闭合路径。尽管在某些情况下，例如地球，它们可以近似为圆形。

-守门员踢入球的球遵循抛物线轨迹。

-飞行中的鸟描述了空间中的曲线轨迹，因为除了在飞机上移动以外，它还可以随意在高度上上下浮动。

当在任何时刻都知道移动台的位置时，可以用数学方式表示物理学中的轨迹。令r为位置矢量，在三维运动的最一般情况下，它又具有x，y和z坐标。知道了函数r（t），轨迹将被完全确定。

种类

一般而言，轨迹可能是一条相当复杂的曲线，尤其是如果您想用数学方式表达它。因此，它从最简单的模型开始，在该模型中，移动设备沿直线或平面行驶，该平面可以是地板或任何其他合适的平面：

一维，二维和三维运动

研究最多的轨迹是：

- 直线，在水平，垂直或倾斜直线上行驶时。沿该路径垂直向上投掷的球，或跟随向下倾斜的物体。它们是一维运动，一个坐标足以完全确定其位置。

- 抛物线形，其中移动设备描述抛物线弧形。这是经常发生的，因为在重力作用下倾斜投掷的任何物体（弹丸）都遵循该轨迹。要指定手机的位置，您必须指定两个坐标：x和y。

- 圆形，当运动的粒子跟随一个圆时发生。它在自然界和日常实践中也很常见。许多日常用品都遵循圆形路径，例如轮胎，机械零件和绕行卫星。

- 椭圆形，对象跟随椭圆移动。如开始时所说，这是行星绕太阳公转的路径。

- 在中心力（重力）作用下的双曲线天文物体可以遵循椭圆（封闭）或双曲线（开放）轨迹，其频率比前者低。

- 螺旋，或螺旋运动，像在热电流鸟上升的。

- 摇摆或摆，移动装置描述来回运动的弧度。

例子

上一节中描述的轨迹对于快速了解对象如何移动非常有用。在任何情况下，都必须弄清楚移动台的轨迹取决于观察者的位置。这意味着可以根据每个人的位置以不同的方式看到同一事件。

例如，一个女孩以恒定的速度踩踏板并向上方扔球。她观察到球描绘出一条直线路径。

但是，对于站在路上的观察者，如果看到球经过，球将发生抛物线运动。对于他来说，最初是用倾斜的速度投掷球，这是女孩的手向上的速度加上自行车的速度的结果。

图2。此动画显示了骑自行车的女孩在观看时（直线轨迹）和观察者在观看时（抛物线轨迹）垂直抛球的情况。（由F. Zapata编写）。

显式，隐式和参数化方式的移动路径

- 显式，直接指定方程y（x）给出的曲线或轨迹

- 隐式，其中曲线表示为f（x，y，z）= 0

- 参数化，以这种方式给出的坐标x，y和z是通常作为时间t选择的参数的函数。在这种情况下，轨迹由以下函数组成：x（t），y（t）和z（t）。

接下来，详细介绍运动学中已广泛研究的两个轨迹：抛物线轨迹和圆弧轨迹。

倾斜发射进入虚空

如图所示，将物体（弹丸）以与水平线成角度a的初始速度v _o投掷。不考虑空气阻力。该运动可以看作是两个独立且同时的运动：一个是恒定速度的水平运动，另一个是在重力作用下的垂直运动。

这些方程是弹丸发射的参数方程。如上所述，它们具有公共参数t，即时间。

在图中的直角三角形中可以看到以下内容：

图3.抛物线后跟弹丸的轨迹，其中显示了速度矢量的分量。H是最大高度，R是最大水平距离。资料来源：Ayush12gupta

将包含发射角的这些方程式代入参数方程式可得出：

抛物线路径方程

通过从x（t）的方程求解t并代入y（t）的方程，可以找到路径的显式方程。为了便于进行代数运算，可以假设原点（0,0）位于发射点，因此x _o = y _o = 0。

这是显式形式的路径方程。

圆形路径

循环路径由下式给出：

图4.粒子在平面上以圆形路径移动。资料来源：Wikimedia Commons的F. Zapata修改。

在此，x _或 yy _o代表移动设备描述的圆周中心，R是其半径。P（x，y）是路径上的一个点。从阴影直角三角形（图3）可以看出：

在这种情况下，该参数是扫掠角θ，称为角位移。在角速度ω（每单位时间扫过的角）恒定的特定情况下，可以说：

其中，θ _Ô是粒子，其中，如果取为0，减少了的初始角位置：

在这种情况下，时间返回到参数方程式为：

单位向量i和j对于编写对象r（t）的位置函数非常方便。它们分别在x轴和y轴上指示方向。用其术语来说，描述均匀圆周运动的粒子的位置为：

r（t）= R.cosωt i + R. sinωt j

解决的练习

已解决的练习1

一门大炮可以以200 m / s的速度和水平方向成40º的角度发射子弹。如果扔在平坦的地面上并且空气阻力被忽略，请找到：

a）路径y（x）..

b）参数方程x（t）和y（t）。

c）射弹在空中的水平射程和持续时间。

d）当x = 12,000 m时弹丸的高度

解决方案）

a）为了找到轨迹，将上一节方程y（x）中给出的值替换为：

解决方案b）

b）在坐标系统的原点（0,0）处选择发射点：

解决方案c）

c）为了找出弹丸在空中持续的时间，令y（t）= 0，在平坦的地面上进行发射：

通过将这个值代入x（t）可以找到最大水平到达距离：

直接找到x _max的另一种方法是在路径方程中设置y = 0：

由于小数点舍入，因此差异很小。

解决方案d）

d）为了在x = 12000 m时求出高度，可以将该值直接代入路径方程中：

练习解决2

对象的位置函数由下式给出：

r（t）= 3t i +（4 -5t ²）j m

找：

a）路径方程。这是什么曲线？

b）初始位置和t = 2 s时的位置。

c）t = 2 s后的位移。

解

a）位置函数是根据单位矢量i和j给出的，它们分别确定x和y轴的方向，因此：

路径y（x）的方程式是通过从x（t）求解t并代入y（t）来找到的：

b）初始位置为：r（2）= 4 j m；t = 2 s的位置是r（2）= 6 i -16 j m

c）位移D r是两个位置向量的减法：

练习解决3

地球半径为R = 6300 km，并且已知绕其轴心运动的旋转周期为一天。找：

a）地球表面上一个点的轨迹方程及其位置函数。

b）该点的速度和加速度。

解决方案）

a）圆形轨道上任何点的位置函数为：

r（t）= R.cosωt i + R. sinωt j

我们具有地球的半径R，但没有角速度ω，但是可以从周期计算得出，知道对于圆周运动，可以这样说：

移动周期为：1天= 24小时= 1440分钟= 86400秒，因此：

代替位置函数：

r（t）= R.cosωt i + R. sinωt j = 6300（cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j）Km

参数形式的路径为：

解决方案b）

b）对于圆周运动，点的线速度v的大小与角速度w相关，其关系为：

即使是恒定速度为145.8 m / s的运动，加速度也指向圆形轨道的中心，负责使该点保持旋转。它是_c处的向心加速度，由下式给出：

参考文献

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