在卓越的产品是代数运算,其中多项式乘法的表达,它不需要被传统解决,但与一定的规则来完成相同的结果可以发现。
多项式乘以yes,因此它们可能具有大量的项和变量。为了使过程更短,使用了显着的乘积规则,该乘积规则允许乘法而不必逐项进行。

著名的产品和例子
每个显着的乘积都是一个因式分解的公式,由多项式的多项式组成,例如二项式或三项式,称为因子。
因素是力量的基础,并且具有指数。当因子相乘时,必须添加指数。
取决于多项式,有几种引人注目的乘积公式,其中一些用得比其他公式更多,它们是:
二项式平方
它是二项式本身的乘法,表示为幂,在此项上相加或相减:
至。二项式平方和:等于第一项的平方,再加上两项乘积的两倍,再加上第二项的平方。表示如下:
(a + b)2 =(a + b)*(a + b)。
在下图中,您可以看到产品如何按照上述规则开发。结果称为完美平方的三项式。

例子1
(x + 5)²=x²+ 2(x * 5)+5²
(x + 5)²=x²+ 2(5x)+ 25
(x + 5)²=x²+ 10x + 25。
例子2
(4a + 2b)=(4a)2 + 2(4a * 2b)+(2b)2
(4a + 2b)= 8a 2 + 2(8ab)+ 4b 2
(4a + 2b)= 8a 2 + 16 ab + 4b 2。
b。平方减法的二项式:和的二项式的相同规则适用,仅在这种情况下,第二项为负。其公式如下:
(a-b)2 = 2
(a-b)2 = a 2 + 2a *(-b)+(-b)2
(一- B)2 =α 2 - 2AB + B 2。
例子1
(2× - 6)2 =(2×)2 - 2(2× * 6)+ 6 2
(2× - 6)2 = 4× 2 - 2(12倍)+ 36
(2× - 6)2 = 4× 2 - 24倍+ 36。
共轭二项式的乘积
当每个项的第二项具有不同的符号时,两个二项式共轭,即,第一个为正,第二个为负,反之亦然。通过对每个单项平方并减去来解决。其公式如下:
(a + b)*(a-b)
在下图中,开发了两个共轭二项式的乘积,其中观察到结果是平方差。

例子1
(2a + 3b)(2a-3b)= 4a 2 +(-6ab)+(6 ab)+(-9b 2)
(2A + 3B)(图2a -图3b)= 4A 2 -图9b 2。
具有共同项的两个二项式的乘积
它是最复杂且很少使用的著名产品之一,因为它是两个具有共同术语的二项式的乘积。该规则规定以下内容:
- 常用术语的平方。
- 加上不常见项的总和,然后将它们乘以常见项。
- 加上不常见项的相乘之和。
它由公式(x + a)*(x + b)表示,并且如图所示展开。结果是一个非完美的平方三项式。

(x + 6)*(x + 9)= x 2 +(6 + 9)* x +(6 * 9)
(x + 6)*(x + 9)= x 2 + 15x + 54。
第二项(不同的项)可能为负,其公式如下:(x + a)*(x-b)。

例子2
(7x + 4)*(7x-2)=(7x * 7x)+(4-2)* 7x +(4 * -2)
(7x + 4)*(7x-2)= 49x 2 +(2)* 7x-8
(7x + 4)*(7x-2)= 49x 2 + 14x-8。
两个不同的术语都为负也可能是这种情况。其公式为:(x-a)*(x-b)。

例子3
(3b-6)*(3b-5)=(3b * 3b)+(-6-5)*(3b)+(-6 * -5)
(3b-6)*(3b-5)= 9b 2 +(-11)*(3b)+(30)
(图3b - 6)*(3B - 5)= 9B 2 - 33B + 30。
平方多项式
在这种情况下,有两个以上的项要展开,每个项都被平方并与一个项与另一个项的乘积的两倍相加。它的公式是:(a + b + c)2并且运算的结果是平方的三项式。

例子1
(3x + 2y + 4z)2 =(3x)2 +(2y)2 +(4z)2 + 2(6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z)2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz。
二项式立方
这是非常复杂的产品。要开发它,将二项式乘以其平方,如下所示:
至。对于总和的二项式:
- 第一项的立方,再加上第一项平方的三倍乘以第二项。
- 加上第一项的三倍,再乘以第二项的平方。
- 加上第二学期的立方体。
(a + b)3 =(a + b)*(a + b)2
(a + b)3 =(a + b)*(a 2 + 2ab + b 2)
(a + b)3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3。
例子1
(a + 3)3 = a 3 + 3(a)2 *(3)+ 3(a)*(3)2 +(3)3
(a + 3)3 = a 3 + 3(a)2 *(3)+ 3(a)*(9)+ 27
(a + 3)3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27。
b。对于减法的二项式立方:
- 第一项的立方,减去第一项的平方乘以第二项的平方。
- 加上第一项的三倍,再乘以第二项的平方。
- 减去第二项的立方。
(a-b)3 =(a-b)*(a-b)2
(一-二)3 =(A - B)*(A 2 - 2AB + B 2)
(AB)3 = A 3 -图2a 2 B + AB 2 - BA 2 + 2AB 2 - B 3
(一- B)3 = 一个3 -图3a 2 B + 3AB 2 - B 3。
例子2
(b-5)3 = b 3 + 3(b)2 *(-5)+ 3(b)*(-5)2 +(-5)3
(b-5)3 = b 3 + 3(b)2 *(-5)+ 3(b)*(25)-125
(二- 5)3 = B 3 - 15B 2 + 75B - 125。
三项式的立方体
通过将其乘以平方来开发。这是一个非常广泛的卓越产品,因为您拥有3个项的立方,每个项的平方乘以3倍,乘以每个项的乘积,再加上这三个项乘积的6倍。以更好的方式看到:
(a + b + c)3 =(a + b + c)*(a + b + c)2
(a + b + c)3 =(a + b + c)*(a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c)3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc。
例子1

解决了著名产品的练习
练习1
展开以下二项式立方体:(4x-6)3。
解
记住二项式立方等于第一项立方,减去第一项平方的三倍乘以第二项。加上第一项的三倍乘以第二项的平方,再减去第二项的立方。
(4× - 6)3 =(4×)3 - 3(4×)2(6)+ 3(4×)*(6)2 - (6)2
(4× - 6)3 = 64× 3 - 3(16X 2)(6)+ 3(4×)*(36) - 36
(4× - 6)3 = 64× 3 - 288x 2 + 432x - 36。
练习2
制定以下二项式:(x + 3)(x + 8)。
解
有一个二项式,其中有一个公共项,即x,第二项为正。要开发它,您只需要平方普通项,再加上不常见项的总和(3和8),然后将它们乘以普通项,再加上不常见项的乘积之和即可。
(x + 3)(x + 8)= x 2 +(3 + 8)x +(3 * 8)
(x + 3)(x + 8)= x 2 + 11x + 24。
参考文献
- 天使,AR(2007)。基本代数。培生教育,。
- 亚瑟·古德曼(Arthur Goodman,LH)(1996)。具有解析几何的代数和三角学。培生教育。
- Das,S.(nd)。Maths Plus8。英国:Ratna Sagar。
- 吉隆坡Jerome E.Kaufmann(2011)。基础和中级代数:组合方法。佛罗里达:参与学习。
- 佩雷斯,CD(2010)。培生教育。
