有哪些类型的积分？ - 数学

该积分的类型，我们在演算发现是不定积分和定积分。尽管定积分比不定积分具有更多的应用，但有必要首先学习如何求解不定积分。

定积分最吸引人的应用之一是计算旋转体的体积。两种类型的积分都具有相同的线性特性，并且积分技术也不依赖于积分的类型。

革命的力量

但是，尽管非常相似，但有一个主要区别。在第一种类型的积分中，结果是一个函数（不具体），而在第二种类型中，结果是一个数字。

积分的基本类型

积分的世界非常广泛，但是在其中我们可以区分两种基本类型的积分，它们在日常生活中具有很大的适用性。

如果对于f域中的所有x，F'（x）= f（x），则我们说F（x）是f（x）的反导数，基元或整数。

另一方面，让我们观察到（F（x）+ C）'= F'（x）= f（x），这意味着函数的积分不是唯一的，因为给常数C取不同的值，我们将获得不同的值抗衍生物。

因此，F（x）+ C被称为f（x）的不定积分，而C被称为积分常数，我们可以通过以下方式编写它：

不定积分

如我们所见，函数f（x）的不定积分是一个函数族。

例如，如果要查找函数f（x）=3x²的不定积分，则必须首先找到f（x）的反导数。

容易看出F（x）=x³是反导数，因为F'（x）=3x²。因此，可以得出结论：

∫f（x）dx =∫3x²dx=x³+C。

令y = f（x）为闭区间上的实连续函数，令F（x）为f（x）的反导数。极限a和b之间的f（x）的定积分称为数F（b）-F（a），并表示为

微积分的基本定理

上面显示的公式被称为“微积分的基本定理”。在此，“ a”称为下限，“ b”称为上限。如您所见，函数的定积分是一个数字。

在这种情况下，如果在该间隔中计算出f（x）=3x²的定积分，则会得到一个数字。

为了确定该数字，我们选择F（x）=x³作为f（x）=3x²的反导数。然后，我们计算F（3）-F（0），得出结果27-0 = 27。总之，区间上的f（x）的定积分为27。

可以注意到，如果选择G（x）=x³+ 3，则G（x）是与F（x）不同的f（x）的反导数，但由于G（3）-G（ 0）=（27 + 3）-（3）= 27。因此，积分常数不会出现在定积分中。

这种积分最有用的应用之一是，它允许我们计算平面图（旋转实体）的面积（体积），建立合适的函数和积分极限（以及旋转轴）。

在定积分中，我们可以找到它的各种扩展，例如线积分，表面积分，不合适的积分，多重积分等，所有这些在科学和工程中都有非常有用的应用。