考虑到这些事件是随机发生的，因此当两个事件之一发生的概率不受另一个事件（或不发生）这一事实的影响时，两个事件是独立的。
每当生成事件1的结果的过程不以任何方式改变事件2的可能结果的可能性时，就会发生这种情况。但是，如果这种情况没有发生，则称这些事件是相关的。
图1.彩色大理石经常用来解释独立事件的可能性。资料来源：
一个独立事件的情况如下：假设滚动了两个六面骰子，一个蓝色，另一个粉红色。1在蓝色骰子上滚动的概率与1在粉色骰子上滚动（或不滚动）的概率无关。
两次独立事件的另一种情况是连续两次抛硬币。第一罚的结果将不取决于第二罚的结果，反之亦然。
两个独立事件的证明
为了验证两个事件是独立的，我们将定义一个事件相对于另一个事件的条件概率的概念。为此，有必要区分互斥事件和互斥事件：
如果事件A的可能值或元素与事件B的值或元素没有共同点，则两个事件是互斥的。
因此，在两个互斥事件中，A与B的交集是真空：
排除事件：A∩B=Ø
相反，如果事件是包容性的，则可能发生事件A的结果也与另一个B的结果一致，而A和B是不同的事件。在这种情况下：
包容性事件：A∩B≠Ø
这导致我们定义两个包容性事件的条件概率，换句话说，即事件B发生时事件A发生的概率：
P（Aκ）= P（A∩B）/ P（B）
因此，条件概率是A和B发生的概率除以B发生的概率，也可以定义B以A为条件的发生概率：
P（B¦A）= P（A∩B）/ P（A）
判断两个事件是否独立的标准
接下来，我们将给出三个条件来确定两个事件是否独立。满足三个条件之一就足够了，这样就可以证明事件的独立性。
1.-如果A每当B发生时发生的概率等于A的概率，则它们是独立事件：
P（AβB）= P（A）=> A独立于B
2.-如果在给定A的情况下B发生的概率等于B的概率，则存在独立事件：
P（B¦A）= P（B）=> B独立于A
3.-如果A和B发生的概率等于A和B发生的概率的乘积，则它们是独立的事件。反之亦然。
P（A∩B）= P（A）P（B）<=> A和B是独立的事件。
独立事件的例子
比较了两个不同供应商生产的橡胶鞋底。每个制造商的样品都经过几次测试，可以得出结论，即它们是否在规格范围内。
图2.各种橡胶底。资料来源：
252个样本的结果摘要如下：
制造商1；160符合规格；8不符合规格。
制造商2；80符合规格；4不符合规格。
事件A：“该样品来自制造商1”。
事件B：“样品符合规格”。
我们想知道这些事件A和B是否独立，因此我们应用上一节中提到的三个标准之一。
标准：P（B¦A）= P（B）=> B独立于A
P（B）= 240/252 = 0.9523
P（B¦A）= P（A⋂B）/ P（A）=（160/252）/（168/252）= 0.9523
结论：事件A和事件B是独立的。
假设事件C：“样品来自制造商2”
事件B是否独立于事件C？
我们应用其中一项标准。
标准：P（B¦C）= P（B）=> B独立于C
P（B¦C）=（80/252）/（84/252）= 0.9523 = P（B）
因此，基于可用数据，随机选择的橡胶鞋底符合规格的概率与制造商无关。
将独立事件转换为从属事件
让我们看下面的示例，以区分依赖事件和独立事件。
我们有一个带两个白巧克力球和两个黑球的袋子。第一次尝试获得白球或黑球的概率相等。
假设结果是母球。如果将拉出的球替换到袋子中，则会重复原始情况：两个白球和两个黑球。
因此，在第二个事件或平局中，绘制母球或黑球的机会与第一次相同。因此，它们是独立的事件。
但是，如果第一次吃的母球没有被吃掉而被替换，那么在第二次抽签中，则有更大的机会抽出一个黑球。第二次提取将再次获得白色的概率与第一个事件的概率不同，并受先前结果的影响。
练习题
-练习1
在一个盒子里，我们放了10个图1的大理石，其中2个是绿色，4个是蓝色，4个是白色。将随机选择两颗弹珠，一个先弹，然后一个弹。
在以下情况下，要求找到它们都不是蓝色的概率：
a）更换后，即将第二个选择之前的第一个大理石返回盒子。指示它们是独立事件还是从属事件。
b）无需更换，以使提取的第一个大理石在进行第二个选择时不放在盒子里。同样，指出它们是相关事件还是独立事件。
解决方案
我们计算出提取的第一个大理石不是蓝色的概率，该概率是1减去它是蓝色P（A）或直接不是蓝色的概率，因为它是绿色或白色的：
P（A）= 4/10 = 2/5
P（不要是蓝色）= 1-（2/5）= 3/5
好吧：
P（绿色或白色）= 6/10 = 3/5。
如果将提取的大理石退回，则一切与以前相同。在第二次绘制中，绘制的大理石不是蓝色的可能性也为3/5。
P（不是蓝色，不是蓝色）=（3/5）。（3/5）= 9/25。
这些事件是独立的，因为提取的大理石已返回到盒子中，并且第一个事件不会影响第二个事件的发生概率。
解决方案b
对于第一次提取，请按照上一节中的步骤进行。它不是蓝色的概率为3/5。
对于第二次提取，我们在袋子中有9个弹珠，因为第一次没有返回，但不是蓝色，因此在袋子中有9个弹珠和5个非蓝色：
P（绿色或白色）= 5/9。
P（无蓝色）= P（第一个非蓝色）。P（第二个不是蓝色/第一个不是蓝色）=（3/5）。（5/9）= 1/3
在这种情况下，它们不是独立事件，因为第一个事件以第二个事件为条件。
-练习2
一家商店有15种衬衫，三种尺寸：3件小号，6件中号和6件大号。随机选择2件衬衫。
a）如果先选择一件衬衫而又不更换另一件衬衫，那么选中的两件衬衫的机率是多少？
b）如果先抽出一件衬衫，然后成批更换，然后再抽出第二件，那么选中的两件衬衫的机率是多少？
解决方案
这是两个事件：
事件A：所选的第一件衬衫很小
赛事B：第二件选中的衬衫较小
事件A发生的概率为：P（A）= 3/15
事件B发生的概率为：P（B）= 2/14，因为衬衫已经被移走了（还剩14件），而且事件A也要实现，所以移走的第一件衬衫必须很小，因此都是2小。
也就是说，A和B将成为这些概率的乘积的概率为：
P（A和B）= P（B¦A）P（A）=（2/14）（3/15）= 0.029
因此，事件A和事件B发生的概率等于事件A发生的乘积乘以事件B如果事件A发生的概率。
应当指出的是：
P（B¦A）= 2/14
无论事件A是否发生，事件B发生的概率为：
如果第一个较小，则P（B）=（2/14），如果第一个较小，则P（B）= 3/14。
通常，可以得出以下结论：
P（B¦A）不等于P（B）=> B不独立于A
解决方案b
同样，有两个事件：
事件A：所选的第一件衬衫很小
赛事B：第二件选中的衬衫较小
P（A）= 3/15
请记住，无论结果如何，都将从批次中提取的衬衫替换，然后再次随机抽取衬衫。如果发生事件A，则事件B发生的概率为：
P（B¦A）= 3/15
事件A和事件B发生的概率为：
P（A和B）= P（B¦A）P（A）=（3/15）（3/15）= 0.04
注意：
P（B¦A）等于P（B）=> B独立于A.
-练习3
考虑两个独立的事件A和B。已知事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3。这两个事件都发生的概率是多少？
解决方案2
知道事件是独立的，就知道两个事件都发生的概率是各个概率的乘积。也就是说，
P（A∩B）= P（A）P（B）= 0.2 * 0.3 = 0.06
请注意，此概率远小于每个事件发生的概率，而不管另一个事件的结果如何。或换种说法，远低于个人赔率。
参考文献
- 贝伦森，M.，1985年。《管理和经济学统计》。Interamericana SA 126-127。
- 蒙特雷研究所。独立事件的概率。从以下站点恢复：monterreyinstitute.org
- 数学老师。独立事件。从以下网址恢复：youtube.com
- 超级教授。事件类型，从属事件。从以下位置恢复：superprof.es
- 虚拟导师。可能性。从以下位置恢复：vitutor.net
- 维基百科。独立性（概率）。从以下站点恢复：Wikipedia.com