甲矢量空间是一个非空的集V = { ü， v， 瓦特，……}，其元素为矢量。他们执行了一些重要的操作，其中包括以下几点：

-萨姆两个向量之间 Ü+ V得到的 Z，其中属于集合 V。

-乘法的实数α的由矢量v：α v给另一矢量和属于V。

向量空间的艺术视野。资料来源：

为了表示向量，我们使用粗体（v是向量），对于标量或数字，希腊字母（α是数字）。

公理和性质

对于给定的向量空间，必须满足以下八个公理：

1个可交换性：u + v = v + u

2-传递性：（u + v）+ w = u +（ v + w）

3-零向量0的存在，使得0 + v = v

4-相反的存在：v的相反是（-v），因为v +（- v）= 0

相对于该矢量和的产物的5-分配性：α（ Û + v ）=α Ü +α v

该产品的相对于所述标量和6分配性：（α+β）v =α v +β v

标量积的7-关联性：α（β v）=（αβ）v

8-数字1是中性元素，因为：1 v = v

向量空间的例子

例子1

（R²）平面中的向量是向量空间的一个示例。平面中的向量是具有大小和方向的几何对象。它由属于所述平面并且尺寸与其大小成比例的定向段表示。

平面中两个向量的总和可以定义为第二个向量在第一个向量之后的几何平移操作。总和的结果是从第一个起点开始到第二个终点的定向段。

从图中可以看出，R 2中的和是可交换的。

图2.平面中的向量形成向量空间。资料来源：自制。

还定义了数α与矢量的乘积。如果数字为正，则保持原始向量的方向，并且大小为原始向量的α倍。如果数字为负，则方向相反，结果向量的大小为数字的绝对值。

与向量v相对的向量是-v =（-1） v。

零向量是R²平面上的一个点，零的个数等于向量给出的零向量。

所说的一切如图2所示。

例子2

次数小于或等于2的所有多项式的集合P（包括次数0）构成一个满足向量空间的所有公理的集合。

令多项式P（x）= ax²+ bx + cy Q（x）= dx²+ ex + f

定义了两个多项式的总和：P（x）+ Q（x）=（a + d）x²+（b + e）x +（c + f）

属于集合P的多项式之和是可交换的和可传递的。

属于集合P的零多项式是一个所有系数都等于零的整数：

0（x）= 0x²+ 0 x + 0

一个多项式的标量α的总和定义为：αP（x）=α∙ax²+α∙bx +α∙c

P（x）的反多项式为-P（x）=（-1）P（x）。

从以上所有得出的结论是，所有次数小于或等于2的多项式的集合P是向量空间。

例子3

关于矩阵相加和数的乘积运算，m个元素为实数的m行xn列的所有矩阵的集合M形成一个实向量空间。

例子4

实变量连续函数的集合F形成向量空间，因为可以定义两个函数之和，即标量乘以函数，零函数和对称函数。它们还满足了表征向量空间的公理。

向量空间的底和维

基础

向量空间的底被定义为一组线性独立的向量，从而可以从它们的线性组合中生成该向量空间的任何向量。

将两个或多个向量线性组合是将向量乘以一个标量，然后将它们向量相加。

例如，在由R 3形成的三维向量的向量空间中，使用由单位向量（幅度为1）i，j，k定义的规范基础。

其中i =（1，0，0）; j =（0，1，0）; k =（0，0，1）。这些是笛卡尔向量或规范向量。

属于R 3的任何向量V都记为V = a i + b j + c k，这是基本向量i，j，k的线性组合。标量或数字a，b，c被称为V的笛卡尔分量。

还可以说向量空间的基本向量形成向量空间的生成器集。

尺寸

向量空间的维数是该空间的向量基数的基数；即，构成所述碱基的向量的数量。

该基数是该向量空间的线性独立向量的最大数量，同时是形成该空间的生成器集的向量的最小数量。

向量空间的底数不是唯一的，但是相同向量空间的所有底数具有相同的维数。

向量子空间

向量空间V的向量子空间S是V的子集，其中定义的操作与V中相同，并且满足所有向量空间公理。因此，子空间S也将是向量空间。

向量子空间的示例是属于XY平面的向量。该子空间是维数矢量空间的子集，该维数大于属于三维空间XYZ的向量集。

由所有2×2个具有实元素的矩阵形成的向量空间S的向量子空间S1的另一个示例定义如下：

另一方面，尽管下面定义的S2是S的子集，但它不构成向量子空间：

解决的练习

-运动1

令向量V1 =（1，1，0）; R 3中的V2 =（0，2，1）和V3 =（0，0，3）。

a）证明它们是线性独立的。

b）证明它们构成了R³的基础，因为任何三元组（x，y，z）都可以写成V1，V2，V3的线性组合。

c）在基V1，V2，V3中找到三元组V =（-3,5,4）的分量。

解

证明线性独立性的标准在于建立以下α，β和γ方程组

α（1，1，0）+β（0，2，1）+γ（0，0，3）=（0，0，0）

如果该系统的唯一解决方案是α=β=γ= 0，那么向量是线性独立的，否则不是。

为了获得α，β和γ的值，我们提出了以下方程组：

α∙1 +β∙0 +γ∙0 = 0

α∙1 +β∙2 +γ∙0 = 0

α∙0 +β∙1 +γ∙3 = 0

第一个导致α= 0，第二个导致α= -2∙β，但由于α= 0，所以β= 0。第三个等式意味着γ=（-1/3）β，但是由于β= 0，所以γ= 0。

回答

结论是它是R 3中的一组线性独立向量。

答案b

现在，让我们将三元组（x，y，z）写为V1，V2，V3的线性组合。

（x，y，z）=αV1 +βV2 +γV3 =α（1，1，0）+β（0，2，1）+γ（0，0，3）

α∙1 +β∙0 +γ∙0 = x

α∙1 +β∙2 +γ∙0 = y

α∙0 +β∙1 +γ∙3 = z

您在哪里：

α= x

α+ 2β= y

β+ 3γ= z

第一个表示α= x，第二个表示β=（yx）/ 2，第三个γ=（z- y / 2 + x / 2）/ 3。通过这种方式，我们发现了R³的任何三元组的α，β和γ的生成器

答案c

让我们继续查找基本V1，V2，V3中三元组V =（-3,5,4）的成分。

我们将上面找到的表达式中的对应值替换为生成器。

在这种情况下，我们有：α= -3; β=（5-（-3））/ 2 = 4; γ=（4- 5/2 +（-3）/ 2）/ 3 = 0

那是：

（-3,5,4）= -3（1，1，0）+ 4（0，2，1）+ 0（0，0，3）

最后：

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

我们得出结论，V1，V2，V3在维数为3的向量空间R3中形成基础。

-练习2

将多项式P（t）=t²+ 4t -3表示为P1（t）=t²-2t + 5的线性组合，P2（t）=2t²-3t和P3（t）= t + 3。

解

P（t）= x P1（t）+ y P2（t）+ z P3（t）

其中要确定数字x，y，z。

通过对t中具有相同度的项进行乘积和分组，我们得到：

t²+ 4 t -3 =（x + 2y）t²+（-2x -3y + z）t +（5x + 3z）

这使我们得出以下方程组：

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

该方程组的解为：

x = -3，y = 2，z = 4。

那是：

P（t）= -3 P1（t）+ 2 P2（t）+ 4 P3（t）

-练习3

证明向量v1 =（1，0，-1，2）; V2 =（1，1，0，1）和V3 =（2,1，-1，1）R 4是线性独立的。

解

我们将三个向量v1，v2，v3线性组合，并要求组合添加R⁴的空元素

a v1 + b v2 + c v3 = 0

也就是说，

a（1，0，-1，2）+ b（1，1，0，1）+ c（2，1，-1，1）=（0，0，0，0）

这使我们得出以下方程组：

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a-c = 0

2 a + b + c = 0

减去第一个和第四个，我们得到：-a + c = 0表示a = c。

但是，如果我们看第三个方程，我们有a = -c。a = c =（-c）成立的唯一方法是c为0，因此a也将为0。

a = c = 0

如果将结果插入第一个方程式，则可以得出b = 0。

最后，a = b = c = 0，因此可以得出向量v1，v2和v3线性独立的结论。

参考文献

1. Lipschutz，S.，1993。线性代数。第二版。麦格劳-希尔。167-198。