几何上的一致性表示,如果两个平面图形具有相同的形状和尺寸,则它们是一致的。例如,两个段的长度相等时是一致的。同样,即使全角在平面中的取向不同,也具有相同的度量。
术语“一致性”来自拉丁语congruentia,其含义是对应关系。因此,两个全等的数字彼此精确对应。
图1.图中的四边形ABCD和A'B'C'D'是一致的:它们的侧面和内角的尺寸相同。资料来源:F. Zapata。
例如,如果我们在图像中叠加两个四边形,我们会发现它们是全等的,因为它们的边的排列是相同的,并且它们的尺寸相同。
通过将四边形ABCD和A'B'C'D'放在彼此的顶部,数字将完全匹配。重合的面称为同源面或对应面,符号≡用于表示全等。所以我们可以说ABCD≡A'B'C'D'。
同余条件
以下特性是全等多边形共有的:
-相同的形状和尺寸。
-它们的角度完全相同。
-两侧各有相同的尺寸。
如果所讨论的两个多边形是规则的,即所有边和内角都相同,则在满足以下任一条件时,可以确保同余:
-双方一致
-相同的措施
-每个多边形的半径相同
正多边形的顶点是中心与边之一之间的距离,而半径对应于中心与图形的顶点或角之间的距离。
一致性标准经常使用,因为大量生产的各种零件和零件必须具有相同的形状和尺寸。这样,可以在需要时轻松更换它们,例如螺母,螺栓,板材或街道地面上的铺路石。
图2.街道的铺路石是一致的图形,因为它们的形状和尺寸完全相同,尽管它们在地板上的方向可能会改变。资料来源:
同余,同一性和相似性
存在与全等有关的几何概念,例如相同的图和相似的图,不一定意味着这些图是全等的。
注意,全等的图形是相同的,但是图1中的四边形可以在平面上以不同的方式定向,并且仍然保持全等,因为不同的定向不会改变其侧面或角度的大小。在这种情况下,它们将不再相同。
另一个概念是图形的相似性:两个平面图形具有相同的形状,并且其内角测量的角度相同,尽管它们的大小可能不同。在这种情况下,数字不一致。
一致性示例
-角度一致
正如我们在一开始所指出的,全等角具有相同的度量。有几种获取全角的方法:
例子1
具有共同点的两条线定义两个角度,由于顶点而称为相反角度。这些角度具有相同的度量,因此它们是一致的。
图3.与顶点相对的角度。资料来源:维基共享资源。
例子2
有两条平行线以及一条与两者相交的线t。与前面的示例一样,当这条线与平行线相交时,它会生成全等的角度,在右侧的每条线上一个,在左侧的另外两个上。由图可见α和α 1,以线吨的权利,这是全等。
图4.图中所示的角度是一致的。资料来源:维基共享资源。Lfahlberg / CC BY-SA(https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)。
例子3
在平行四边形中,有四个内角,它们成二比二。它们是相对顶点之间的顶点,如下图所示,其中绿色的两个角度和红色的两个角度是一致的。
图5.平行四边形的内角成二乘二。资料来源:维基共享资源。
-三角形的同余
形状和大小相同的两个三角形是全等的。为了验证这一点,可以通过三个标准来检查它们的一致性:
- LLL准则:三角形的三条边具有相同的措施,因此大号1 = L' 1; L 2 = L' 2和L 3 = L' 3。
图6.等边三角形的示例,其边长相同。资料来源:F. Zapata。
- ALA和AAL标准:三角形有两个相等的内角与这些角度之间的侧具有相同的量度。
图7.三角形一致性的ALA和AAL标准。资料来源:维基共享资源。
- LAL准则:两个侧面是相同的(对应的)和在它们之间相同的角度。
图8.三角形同余的LAL标准。资料来源:维基共享资源。
解决的练习
-练习1
下图中显示了两个三角形:ΔABC和ΔECF。已知AC = EF,AB = 6,CF =10。此外,角度∡BAC和∡FEC是一致的,角度∡ACB和∡FCB也是一致的。
图9.工作示例的三角形1.来源:F. Zapata。
那么段BE的长度等于:
(i)5
(ii)3
(iii)4
(iv)2
(v)6
解
由于两个三角形在等角度∡BAC=∡CEF和∡BCA=∡CFE之间具有等长AC = EF的边,因此可以说这两个三角形符合ALA准则。
也就是说,ΔBAC≡ΔCEF,因此我们必须:
BA = CE = AB = 6
BC = CF = 10
AC = EF
但是要计算的段为BE = BC-EC = 10-6 = 4。
因此,正确答案是(iii)。
-练习2
下图中显示了三个三角形。还已知两个指示角度各为80º,线段AB = PD和AP = CD。找到图中指示的角度X的值。
图10.所解决示例的三角形2.来源:F. Zapata。
解
您必须应用三角形的属性,这些属性将逐步详细介绍。
第1步
从LAL三角形一致标准开始,可以说BAP和PDC三角形是一致的:
ΔBAP≡ΔPDC
第2步
由上可知,BP = PC,因此三角形ΔBPC是等腰,andPCB =∡PBC=X。
第三步
如果我们将角度称为BPCγ,则得出:
2x +γ=180º
第4步
如果将角度APB和DCPβ和α称为角度ABP和DPC,我们有:
α+β+γ=180º(因为APB是一个平面角)。
第5步
此外,通过三角形APB的内角之和,α+β+80º=180º。
第6步
结合所有这些表达式,我们得到:
α+β=100º
步骤7
因此:
γ=80º。
步骤8
最终得出以下结论:
2X +80º=180º
X =50º时。
参考文献
- Baldor,A.1973。《平面和空间几何》。中美洲文化。
- CK-12基金会。同余多边形。从ck 12.org中恢复。
- 享受数学。定义:半径(多边形)。从以下网站恢复:enjoylasmatematicas.com。
- 数学开放参考。测试多边形的一致性。从以下位置恢复:mathopenref.com。
- 维基百科。同余(几何)。摘自:es.wikipedia.org。
- Zapata,F.三角形,历史,元素,分类,属性。从以下地址恢复:lifeder.com。