- 应用领域
- 表示法和3D矢量表示
- 向量的角度和方向余弦
- 解决的练习
- -练习1
- 解
- -练习2
- 解
- 步骤1：找出所有点的座标
- 步骤2：通过减去终点和起点的坐标来找到各个方向的向量
- 步骤3：计算模块和单位向量
- 步骤4：将所有压力表示为向量
- 步骤5：应用静态平衡条件并求解方程组
- 参考文献
空间中的向量是由x，y和z给出的坐标系表示的所有向量。大多数情况下，xy平面是水平面，而z轴表示高度（或深度）。
图1所示的笛卡尔坐标轴将空间划分为8个区域，称为八分圆，类似于x-y轴将平面划分为4个象限的方式。然后，我们将有第一个八分圆，第二个八分圆，依此类推。
图1.空间中的向量。资料来源：自制。
图1包含空间中向量v的表示。需要一些透视图才能在屏幕平面上产生三维幻觉，这是通过绘制斜视图实现的。
要绘制3D向量的图形，必须使用虚线确定网格上v在xy表面上的投影或“阴影”的坐标。此投影始于O并结束于绿点。
到达那里之后，您必须根据z的值沿垂直方向继续前进到必要的高度（或深度），直到到达P。从O开始绘制矢量，并在P处绘制矢量，该示例在第一个八分圆中。
应用领域
空间中的矢量广泛用于力学以及物理学和工程学的其他分支，因为围绕我们的结构需要三维的几何形状。
空间中的位置矢量用于相对于称为OR原点的参考点定位对象，因此，它们也是导航中的必要工具，但还不是全部。
作用在诸如螺栓，托架，电缆，支柱等结构上的力在本质上是矢量，并且在空间上定向。为了知道它的作用，有必要知道它的地址（以及它的应用点）。
通常，通过知道空间中属于其作用线的两个点，可以知道力的方向。这样，作用力是：
F = F u
其中F是力的大小或幅度，u是沿作用线F指向的单位矢量（模块1）。
表示法和3D矢量表示
在继续解决一些示例之前，我们将简要回顾一下3D矢量符号。
在图1的示例中，向量v（其原点与原点O重合且其端点为点P）具有正xyz坐标，而y坐标为负。这些坐标是：x 1，y 1，z 1，它们恰好是P的坐标。
因此，如果我们有一个链接到原点的向量，即其起点与O重合，则很容易指出其坐标，该坐标将是极点或P的坐标。为了区分点和向量，我们将使用最后的粗体字母和方括号，如下所示：
v = <x 1，y 1，z 1 >
P点用括号表示：
P =（x 1，y 1，z 1）
另一种表示形式是利用分别定义x，y和z轴上三个空间方向的单位矢量i，j和k。
这些向量彼此垂直，并形成正交基础（见图2）。这意味着3D向量可以用以下形式写成：
v = v x i + v y j + v z k
向量的角度和方向余弦
图2还示出了导演的角度γ 1，γ 2和γ 3，该矢量v与x，y和z轴分别使。知道了这些角度和矢量的大小，就可以完全确定它。此外，指向角的余弦满足以下关系：
（COSγ 1）2 +（COSγ 2）2 +（COSγ 3）2 = 1
图2.单位矢量i，j和k确定了3个优先的空间方向。资料来源：自制。
解决的练习
-练习1
图2中的角γ 1，γ 2和γ 3，该矢量v模50点形成与坐标轴分别为：75.0º，60.0º和34.3º。找到此向量的笛卡尔分量，并用单位向量i，j和k表示它。
解
向量v在x轴上的投影为v x = 50。cos75º= 12,941。同样，v在y轴上的投影为v y = 50 cos 60º= 25，最后在z轴上的投影为v z =50。cos 34.3º= 41.3。现在v可以表示为：
v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k
-练习2
如果重量为30 N，则在平衡状态下找到保持铲斗的每条电缆的张力。
图3.练习2的压力图。
解
在铲斗上，自由机构图表明T D（绿色）抵消了重量W（黄色），因此T D = W = 30N。
在该节点上，向量T D垂直向下定向，然后：
T D = 30（-k）N。
若要建立剩余电压，请按照下列步骤操作：
步骤1：找出所有点的座标
A =（4.5,0,3）（A在墙xz的平面上）
B =（1.5,0,0）（B在x轴上）
C =（0，2.5，3）（C在墙和z的平面上）
D =（1.5，1.5，0）（D在水平xy平面上）
步骤2：通过减去终点和起点的坐标来找到各个方向的向量
DA = <3; -1.5; 3>
DC = <-1.5；之一; 3>
DB = <0; -1.5; 0>
步骤3：计算模块和单位向量
通过以下表达式获得单位向量：u = r / r，其中r（以粗体显示）是向量，而r（未以粗体显示）是所述向量的模块。
DA =（3 2 +（-1.5）2 + 3 2）½ = 4.5; DC =（（-1.5）2 +1 2 + 3 2）½ = 3.5
u DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>
u DC = <-1.5; 之一; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29；0.86>
u DB = <0; -之一; 0>
u D = <0; 0; -1>
步骤4：将所有压力表示为向量
T DA = T DA u DA = T DA <0.67；-0.33; 0.67>
T DC = T DC u DC = T DC <-0.43; 0.29；0.86>
T DB = T DB u DB = T DB <0; -之一; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
步骤5：应用静态平衡条件并求解方程组
最后，将静态平衡条件应用于铲斗，以使节点上所有力的向量和为零：
T DA + T DC + T DB + T D = 0
由于应力在空间中，因此对于应力的每个分量（x，y和z），将导致由三个方程组成的系统。
0.67 T DA -0.43 T DC + 0 T DB = 0
-0.33 T DA + 0.29 T DC -T DB = 0
0.67 T DA + 0.86 T DC +0 T DB -30 = 0
解为：T DA = 14.9 N; T DA = 23.3 N; T DB = 1.82 N
参考文献
- 贝德福德（Bedford），2000年。A.工程力学：静力学。艾迪生·韦斯利（Addison Wesley）。38-52。
- Figueroa，D。系列：科学与工程物理。第1卷，运动学，第31-68页。
- 物理。模块8：向量。从以下位置恢复：frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler，R.2006。《工程师力学》。静态的 第6版。大陆出版公司。15-53。
- 向量加法计算器。从：1728.org恢复