在实数构成的数值集，包括自然数，整数，理性与非理性。它们用符号ℝ或简单地用R表示，并且它们在科学，工程和经济学中的范围如此之大，以至于当谈到“数字”时，几乎可以认为它是实数。
自古以来就一直使用实数，尽管没有给它起这个名字。从毕达哥拉斯发展出他著名的定理以来，就出现了无法以自然数或整数的商获得的数字。
图1. Venn图显示了实数集如何包含其他数集。来源> Wikimedia Commons。
数字的示例是√2，√3和π。与有理数相反，这些数被称为无理数，有理数确实来自整数的商。因此，有必要包含两个数字类别的数字集。
伟大的数学家RenéDescartes（1596-1650）创建了“实数”一词，以区分因求解多项式方程而产生的两种根。
这些根中的一些甚至可以是负数的根，笛卡尔称这些为“虚数”，而不是的则为实数。
面额随着时间的流逝而持续存在，产生了两个很好的数值集：实数和复数，一个更大的集合，包括实数，虚数以及部分实部和虚部的数。
实数的演变一直持续到1872年，数学家Richard Dedekind（1831-1936）通过所谓的Dedekind割形式正式定义了实数集。同年，他发表了一篇关于他工作的综述文章。
实数示例
下表显示了实数示例。该集合具有自然数，整数，有理数和无理数作为子集。这些集合中的任何数目本身就是实数。
因此，0，负数，正数，分数和小数均为实数。
图2.实数的例子有自然数，整数，有理数，无理数和超越数。资料来源：F. Zapata。
实线上的实数表示
如图所示，实数可以用实线R表示。不一定总是存在0，但是可以方便地知道负实数在左边，正实数在右边。这就是为什么它是一个很好的参考点。
在实线上，采用一个小数位数，其中找到整数：… 3，-2，-1、1、2、3…. 箭头指示线延伸到无穷大。但这还不是全部，在任何考虑的时间间隔内，我们还将始终找到无限的实数。
实数按顺序表示。首先，是整数的顺序，其中正数始终大于0，而负数则小于0。
该顺序保持在实数内。以下不等式为例：
a）-1/2 <√2
b）e <π
c）π> -1/2
图3.-实线。资料来源：维基共享资源。
实数的性质
-实数包括自然数，整数，有理数和无理数。
-满足加法的交换性质：加数的顺序不改变总和。如果a和b是两个实数，则始终是这样：
a + b = b + a
-0是总和的中性元素：a + 0 = a
-总和满足关联属性。如果a，b和c是实数：（a + b）+ c = a +（b + c）。
-与实数相反的是-a。
-减法定义为相反的和：a-b = a +（-b）。
-满足产品的交换性质：因子的顺序不会改变产品：ab = ba
-在产品中还应用了关联属性：（ab）.c = a。（Bc）
-1是乘法的中性元素：a.1 = a
-乘法的分配属性对于加法有效：（b + c）= ab + ac
-未定义除以0。
-除0以外的任何实数a均具有-1的乘法逆，因此aa -1 = 1。
-如果a是实数：一个0 = 1和a 1 = A。
-实数的绝对值或模数是该数字与0之间的距离。
实数运算
使用实数，您可以执行其他数集所完成的运算，包括加，减，乘，除，赋权，根，对数等。
与往常一样，没有定义除以0，也没有数字或0的负对数，尽管确实log 1 = 0且0和1之间的数字对数为负。
应用领域
实数在各种情况下的应用极为不同。实数似乎是对精确科学，计算机科学，工程学，经济学和社会科学中许多问题的解答。
距离，时间，力，声音强度，金钱等等的各种大小和数量都以实数表示。
电话信号的传输，视频的图像和声音，空调，加热器或冰箱的温度可以进行数字控制，这意味着将物理量转换为数字序列。
通过Internet进行银行交易或查询即时消息时，也会发生同样的情况。实数无处不在。
运动解决
我们将通过练习来了解这些数字在每天遇到的常见情况下如何工作。
练习1
邮局只接受长度加周长不超过108英寸的包裹。因此，要使所显示的包裹被接受，必须满足以下条件：
L + 2（x + y）≤108
a）6英寸宽，8英寸高和5英尺长的包装是否可以穿过？
b）一个尺寸为2 x 2 x 4 ft 3的那个怎么样？
c）对于底部为正方形且尺寸为9 x 9英寸2的包装，最高可接受高度是多少？
回答
L = 5英尺= 60英寸
x = 6英寸
y = 8英寸
要解决的操作是：
L + 2（x + y）= 60 + 2（6 + 8）英寸= 60 + 2 x 14英寸= 60 + 28英寸= 88英寸
包裹被接受。
答案b
该数据包的尺寸小于数据包a）的尺寸，因此它们都可以通过。
答案c
在此包装中：
x = L = 9英寸
必须注意：
9+ 2（9 + y）≤108
27 + 2y≤108
2y≤81
≤40.5英寸
参考文献
- Carena，M.2019年。《大学预科数学手册》。国立法律大学。
- 迭戈，A。实数及其性质。从以下位置恢复：matematica.uns.edu.ar。
- Figuera，J。2000。数学第9版。度。CO-BO版本。
- Jiménez，R.，2008年。代数。学徒大厅。
- Stewart，J.，2006年。微积分：微积分的数学。5号 版。圣智学习。