拉普拉斯变换：定义，历史及其用途 - 数学 - 2025

近年来，拉普拉斯变换在工程，数学和物理研究以及其他科学领域中非常重要，因为除了具有重大的理论意义之外，它还提供了一种简单的方法来解决来自以下方面的问题科学与工程。

最初，拉普拉斯变换是由皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-SimónLaplace）在其概率论研究中提出的，最初被视为纯粹具有理论意义的数学对象。

当各种数学家试图为Heaviside在电磁理论方程研究中使用的“运算规则”提供形式上的正当理由时，当前的应用出现了。

定义

令f是为t≥0定义的函数。拉普拉斯变换的定义如下：

如果先前的积分收敛，则称拉普拉斯变换存在，否则称拉普拉斯变换不存在。

通常，小写字母用于表示要转换的函数，大写字母对应于其转换。这样，我们将拥有：

例子

考虑常数函数f（t）=1。我们将其变换为：

每当积分收敛时，即s>0。否则，s <0，积分发散。

令g（t）= t。它的拉普拉斯变换由

通过按部分积分并知道当t趋于无穷大且s> 0时te ^-st趋于0，以及前面的示例，我们得到：

该变换可能存在或不存在，例如对于函数f（t）= 1 / t，定义其Laplace变换的积分不收敛，因此不存在其变换。

保证存在函数f的拉普拉斯变换的充分条件是，对于t≥0，f是分段连续的，并且是指数级的。

在t≥0时，函数是分段连续的，当对于a> 0的任何间隔，有有限数量的点t _k时，其中f具有不连续性，并且在每个子间隔中都是连续的。

另一方面，如果存在实常数M> 0，c和T> 0，则将一个函数称为指数级c：

作为示例，我们有f（t）= t ²是指数级的，因为-t ^2- <e ^3t对于所有t> 0。

在形式上，我们有以下定理

定理（存在的充分条件）

如果f是t> 0且指数级为c的部分连续函数，则存在s> c的拉普拉斯变换。

重要的是要注意，这是一个充分条件，也就是说，可能存在不满足这些条件的函数，甚至存在其拉普拉斯变换的情况。

函数f（t）= t ^-1/2就是一个例子，对于t≥0，它不是^分段连续的，但是存在拉普拉斯变换。

一些基本功能的拉普拉斯变换

下表显示了最常用函数的Laplace变换。

历史

拉普拉斯变换的名称归功于法国数学家和理论天文学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace），他出生于1749年，卒于1827年。他的名气使他被称为法国牛顿。

1744年，伦纳德·欧拉（Leonard Euler）致力于研究形式的积分

作为常微分方程的解，但他很快放弃了这项研究。后来，非常欣赏欧拉的约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）也研究了这些类型的积分，并将它们与概率论联系起来。

拉普拉斯1782年

拉普拉斯（Laplace）在1782年开始研究微分方程解之类的积分，并根据历史学家的说法，在1785年，他决定对问题进行重新表述，后来引起了今天人们所理解的拉普拉斯（Laplace）变换。

被引入概率论领域后，它在当时对科学家来说并不重要，并且仅被视为仅具有理论意义的数学对象。

奥利弗·海维赛德

在19世纪中叶，英国工程师Oliver Heaviside发现微分算子可以被视为代数变量，从而为Laplace变换提供了现代应用。

奥利弗·海维赛德（Oliver Heaviside）是一位英国物理学家，电气工程师和数学家，他于1850年出生于伦敦，于1925年去世。在试图解决应用于振动理论的微分方程问题并利用拉普拉斯的研究方法时，他开始塑造拉普拉斯变换的现代应用。

Heaviside提出的结果在当时的科学界中迅速传播开来，但是由于他的工作不够严格，他很快遭到了更为传统的数学家的批评。

但是，Heaviside的工作在解决物理方程式方面的实用性使他的方法在物理学家和工程师中广受欢迎。

尽管遭受了这些挫折，并且经过了数十年的失败尝试，在20世纪初，对于Heaviside提出的操作规则仍可以给出严格的理由。

由于布罗姆维奇，卡森，范德波尔等各种数学家的努力，这些尝试取得了成果。

物产

在拉普拉斯（Laplace）变换的属性中，以下几点突出：

线性度

假设c1和c2是常数，而f（t）和g（t）函数的拉普拉斯变换分别是F（s）和G（s），则我们有：

由于这种特性，拉普拉斯变换被称为线性算子。

例

第一翻译定理

如果发生这种情况：

“ a”是任何实数，因此：

例

由于cos（2t）= s /（s ^ 2 + 4）的Laplace变换，则：

第二翻译定理

是

所以

例

如果f（t）= t ^ 3，则F（s）= 6 / s ^ 4。因此，

是G（s）= 6e ^-2s / s ^ 4

规模变化

是

而“ a”是一个非零实数，我们必须

例

由于f（t）= sin（t）的变换为F（s）= 1 /（s ^ 2 +1），因此

拉普拉斯的导数变换

如果f，f'，f''，…，f ^（n）在t≥0时是连续的并且是指数级的，而f ^（n）（t）在t≥0时是分段连续的，则

拉普拉斯积分变换

是

所以

乘以t

如果我们必须

所以

除以t

如果我们必须

所以

周期性功能

令f为周期T> 0的周期函数，即f（t + T）= f（t），则

F（s）随s趋于无穷大的行为

如果f是连续的且呈指数级的部分，并且

所以

逆变换

当我们将拉普拉斯变换应用于函数f（t）时，我们获得了代表该变换的F（s）。以同样的方式，我们可以说f（t）是F（s）的拉普拉斯逆变换，写为

我们知道f（t）= 1和g（t）= t的拉普拉斯变换分别是F（s）= 1 / s和G（s）= 1 / s ²，因此我们有

一些常见的拉普拉斯逆变换如下

此外，拉普拉斯逆变换是线性的，也就是说，

行使

找

为了解决此问题，我们必须将函数F（s）与上表之一进行匹配。在这种情况下，如果我们采用+ 1 = 5并使用逆变换的线性属性，我们将乘以除以4！得到

对于第二个逆变换，我们应用部分分数重写函数F（s），然后重写线性特性，从而获得

从这些示例中我们可以看到，被评估的函数F（s）与表中给出的任何函数都不完全匹配是很常见的。可以看出，对于这些情况，只要重写函数直到达到适当的形式就足够了。

拉普拉斯变换的应用

微分方程

拉普拉斯变换的主要应用是求解微分方程。

利用导数变换的性质，很明显

在t = 0时评估的n-1个导数的Y。

此属性使变换对于解决涉及常数系数的微分方程的初值问题非常有用。

以下示例说明如何使用拉普拉斯变换来求解微分方程。

例子1

给定以下初始值问题

使用Laplace变换找到解决方案。

我们将拉普拉斯变换应用于微分方程的每个成员

通过导数变换的性质，我们有

通过开发所有表达式并清除Y，我们可以

使用部分分数重写方程的右侧，我们得到

最后，我们的目标是找到一个满足微分方程的函数y（t）。使用逆拉普拉斯逆变换可得出结果

例子2

解决

与前面的情况一样，我们在等式的两边应用变换，并逐项分开。

这样我们就有了

用给定的初始值替换并求解Y（s）

使用简单的分数，我们可以如下重写方程式

应用逆拉普拉斯逆变换可得出结果

在这些示例中，可能会错误地得出结论，该方法并不比用于求解微分方程的传统方法好得多。

拉普拉斯（Laplace）变换的优点在于，您无需使用参数变化，也不必担心不确定系数方法的各种情况。

同样，通过这种方法求解初始值问题时，从一开始就使用初始条件，因此无需执行其他计算来找到特定的解决方案。

微分方程系统

如以下示例所示，拉普拉斯变换还可以用于找到联立常微分方程的解。

例

解决

初始条件x（0）= 8且y（0）= 3。

如果我们必须

所以

解决给了我们结果

并应用拉普拉斯逆变换

机械和电路

拉普拉斯变换在物理学中非常重要，它主要在机械和电路中得到应用。

一个简单的电路由以下元素组成

开关，电池或电源，电感器，电阻器和电容器。当开关闭合时，产生电流，该电流由i（t）表示。电容器上的电荷用q（t）表示。

根据基尔霍夫第二定律，由源E在闭合电路中产生的电压必须等于每个压降的总和。

电流i（t）与电容器上的电荷q（t）的关系为i = dq / dt。另一方面，每个元素中的电压降定义如下：

电阻两端的压降为iR = R（dq / dt）

电感两端的压降为L（di / dt）= L（d ² q / dt ²）

电容器两端的压降为q / C

利用这些数据并将基尔霍夫第二定律应用于简单的闭环电路，可以得到描述系统的二阶微分方程，并允许我们确定q（t）的值。

例

如图所示，电感器，电容器和电阻器连接到电池E。电感为2亨利，电容器为0.02法拉，电阻为16欧姆。在时间t = 0时，电路闭合。如果E = 300伏，则在任何时间t> 0处找到电荷和电流。

我们有描述该电路的微分方程如下

初始条件为q（0）= 0，i（0）= 0 = q'（0）。

应用拉普拉斯变换，我们得到

求Q（t）

然后，应用拉普拉斯逆变换

参考文献

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