的存在性和唯一性定理建立了一阶微分方程的充分必要条件，与给定的初始条件下，以具有溶液和此解决方案是唯一的一个。
但是，该定理没有提供任何技术或指示来说明如何找到这样的解决方案。存在性和唯一性定理也扩展到具有初始条件的高阶微分方程，这被称为柯西问题。
图1.显示了带有初始条件的微分方程及其解。存在唯一性定理保证这是唯一可能的解决方案。
存在性和唯一性定理的形式描述如下：
“对于初始条件为y（a）= b的微分方程y'（x）= f（x，y），如果包含点（a，b）的XY平面的矩形区域中存在至少一个解，如果f（x，y）在该区域是连续的。并且，如果f相对于y的偏导数：g = / f / isy在相同的矩形区域中是连续的，则该解在fy连续性区域中包含的点（a，b）的附近是唯一的G。”
该定理的有用之处在于，首先要知道XY平面中可以存在解的区域，而且还要知道找到的解是否是唯一可能的解，或者是否有其他解。
请注意，如果不满足唯一性条件，则该定理将无法预测Cauchy问题总共有多少个解决方案：也许是一个，两个或更多。
存在性和唯一性定理的证明
图2. CharlesÉmilePicard（1856-1941）被认为是存在与唯一性定理的第一证明。资料来源：维基共享资源。
对于该定理，已知两个可能的证明，其中一个是CharlesÉmilePicard（1856-1941）的证明，另一个是基于Giuseppe Peano（1858-1932）的奥古斯丁·路易斯·柯西（1789-1857）的证明。
值得注意的是，十九世纪最杰出的数学思想参与了该定理的证明，因此可以假设它们都不是简单的。
要正式证明该定理，有必要首先建立一系列更高级的数学概念，例如Lipschitz型函数，Banach空间，Carathéodory的存在定理，以及其他几个不属于本文范围的定理。
在物理学中处理的大部分微分方程处理感兴趣区域中的连续函数，因此，我们将局限于显示该定理如何应用于简单方程。
例子
-范例1
让我们考虑以下具有初始条件的微分方程：
y'（x）=-y; y（1）= 3
有解决这个问题的方法吗？这是唯一可能的解决方案吗？
答案
首先，评估微分方程解的存在性，并且它还满足初始条件。
在此示例中，f（x，y）=-并且存在条件要求知道f（x，y）在XY平面的包含坐标x = 1，y = 3的点的区域中是否连续。
但是f（x，y）=-y是仿射函数，它在实数域中是连续的，并且在整个实数范围内都存在。
因此，可以得出结论：f（x，y）在R 2中是连续的，因此该定理保证了至少一个解的存在。
知道这一点，有必要评估解决方案是否唯一，或者是否存在多个解决方案。为此，有必要针对变量y计算f的偏导数：
然后，g（x，y）= -1，这是一个常数函数，也为所有R 2定义，并且在此处也是连续的。因此，存在性和唯一性定理保证了这个初值问题确实具有唯一解，尽管它没有告诉我们它是什么。
-示例2
考虑以下具有初始条件的一阶常微分方程：
y'（x）=2√y; 并且（0）= 0。
这个问题有解y（x）吗？如果是这样，请确定是否存在一个或多个。
回复
我们考虑函数f（x，y）=2√y。函数f仅在y≥0时定义，因为我们知道负数缺少实根。此外，f（x，y）在R 2的上半平面（包括X轴）中是连续的，因此存在性和唯一性定理保证了在该区域中的至少一个解。
现在，初始条件x = 0，y = 0在求解区域的边缘。然后我们相对于y取f（x，y）的偏导数：
∂f/∂y= 1 /√y
在这种情况下，函数y = 0时未定义，恰好在初始条件所在的位置。
该定理告诉我们什么？它告诉我们，尽管我们知道在X轴（包括X轴）的上半平面中至少有一个解，但由于不满足唯一性条件，因此无法保证会有唯一解。
这意味着在f（x，y）的连续性区域中可能存在一个或多个解决方案。与往常一样，该定理没有告诉我们它们可能是什么。
解决的练习
-练习1
解决示例1中的柯西问题：
y'（x）=-y; y（1）= 3。
找到满足微分方程和初始条件的函数y（x）。
解
在示例1中，确定此问题已解决，并且也是唯一的。为了找到解决方案，首先要注意的是它是可分离变量的一阶微分方程，其编写如下：
在两个成员之间和之中进行划分以分隔变量：
两个成员都应用不定积分：
解决不定积分，我们有：
其中C是由初始条件确定的积分常数：
替换C的值并重新排列它仍然是：
应用对数的以下属性：
上面的表达式可以这样重写：
两个成员都以e为底的指数函数适用于获得：
y / 3 = e （1-x）
等效于：
y = 3e e -x
这是方程y'= -y且y（1）= 3的唯一解。该解决方案的图形如图1所示。
-练习2
为示例2中提出的问题找到两个解决方案：
y'（x）=2√（y）; 并且（0）= 0。
解
它也是可分离变量的等式，以微分形式编写，如下所示：
dy /√（y）= 2 dx
在两个成员中取不定积分仍然是：
2√（y）= 2 x + C
由于我们知道y≥0在解区域中，所以我们有：
y =（x + C）2
但是由于必须满足初始条件x = 0，y = 0，因此常数C为零，并且保留以下解决方案：
y（x）= x 2。
但是这种解决方案不是唯一的，函数y（x）= 0也是所提出问题的解决方案。实例2中应用于此问题的存在性和唯一性定理已经预言可能会有不止一种解决方案。
参考文献
- 科丁顿，伯爵A.; Levinson，Norman（1955），常微分方程理论，纽约：McGraw-Hill。
- 数学百科全书。Cauchy-Lipschitz定理。从以下资源中恢复：encyclopediaofmath.org
- 林德尔夫（Lindelöf），《近似法》的后续应用 收录科学研究院的科学重大成就。第1卷，1894年，第127页。454–457。从以下网站恢复：gallica.bnf.fr。
- 维基百科。皮卡德的逐次逼近方法。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
- 维基百科。Picard-Lindelöf定理。从es.wikipedia.com中恢复。
- Zill，D.1986年。基本微分方程及其应用，Prentice Hall。