的非线性规划是优化依赖于数个独立变量，这反过来又受到限制的功能的处理。
如果一个或多个限制，或者要最大化或最小化的函数（称为目标函数）未表示为变量的线性组合，则存在非线性编程问题。
图1.非线性编程问题（NLP）。其中G是在绿色区域进行优化的（非线性）函数，由约束条件决定。资料来源：F. Zapata。
因此，不能使用线性编程的过程和方法。
例如，不能使用众所周知的单纯形法，该方法仅在目标函数和约束都是问题中变量的线性组合时才适用。
线性编程方法
对于非线性编程问题，主要使用的方法是：
1.-图形方法。
2.-拉格朗日乘子探索解区域的边界。
3.-计算梯度以探索目标函数的极值。
4.-递减方法，找到零梯度点。
5.-拉格朗日乘数的修改方法（具有Karush-Kuhn-Tucker条件）。
图形方法解决方案示例
图形方法的一个示例示例如图2所示：
图2.具有非线性限制的非线性问题的示例及其图形解决方案。资料来源：F. Zapata。
练习题
-练习1（图解法）
某家公司的利润G取决于产品X的销售量和产品Y的销售量，此外，利润由以下公式确定：
G = 2（X-2）2 + 3（Y-3）2
已知数量X和Y具有以下限制：
X≥0; Y≥0且X + Y≤7
确定产生最大增益的X和Y的值。
图3.可以使用非线性编程对公司的利润进行数学建模以找到最大利润。资料来源：
解
在这个问题中，目标函数是非线性的，而定义约束的不等式则是非线性的。这是一个非线性编程问题。
为了解决该问题，将选择图形方法。
首先，将确定解决方案区域，这由限制条件给出。
当X≥0; Y≥0，必须在XY平面的第一象限中找到解，但是由于X + Y≤7也必须成立，所以解在X + Y = 7线的下半平面中。
解区域是第一象限与直线的下半平面的交点，这导致找到解的三角形区域。与图1所示相同。
另一方面，增益G也可以在笛卡尔平面中表示，因为它的方程是中心为（2,3）的椭圆的方程。
椭圆显示在图1中，表示各种G值.G值越高，增益越大。
有些解决方案属于该区域，但没有给出最大G值，而其他解决方案（例如G = 92.4）在绿色区域（即解决方案区域）之外。
然后，使X和Y属于解区域的G的最大值对应于：
G = 77（最大增益），对于X = 7和Y = 0给出。
有趣的是，当产品Y的销售额为零，而产品X的数量达到其最大可能值时，就会获得最大利润。
-练习2（分析方法：拉格朗日乘数）
发现，使函数f（X，Y）= X的溶液（X，Y）2 + 2Y 2最大，该区域克（X，Y）= X 2 + Y 2 - 1 = 0。
解
显然这是一个非线性规划问题，因为目标函数f（x，y）和约束g（x，y）= 0都不是变量x和y的线性组合。
将使用拉格朗日乘数法，该方法首先需要定义拉格朗日函数L（x，y，λ）：
L（X，Y，λ）= F（X，Y） - λ克（X，Y）= X 2 + 2Y 2 - λ（X 2 + Y 2 - 1）
其中，λ是称为拉格朗日乘数的参数。
要确定目标函数f的极值，在由限制g（x，y）= 0给出的解区域中，请执行以下步骤：
-找到关于x，y，λ的Lagrange函数L的偏导数。
-将每个导数均等为零。
以下是这些操作的顺序：
- ∂L/∂x= 2x-2λx= 0
- ∂L/∂y= 4y-2λy= 0
- ∂L/∂λ= - （X 2 + Y 2 - 1）= 0
可能的系统解决方案
该系统的可能解决方案是λ= 1，从而满足第一个方程式，在这种情况下，y = 0，从而满足第二个方程式。
该解决方案意味着要满足第三个方程，x = 1或x = -1。这样，获得了两个解S1和S2：
S1：（x = 1，y = 0）
S2：（x ＝ -1，y ＝ 0）。
另一个选择是λ= 2，因此不管y值如何，都满足第二个方程。
在这种情况下，满足第一个方程的唯一方法是x = 0。考虑到第三个方程，只有两个可能的解，我们将其称为S3和S4：
S3：（x = 0，y = 1）
S4：（x = 0，y = -1）
为了找出这些解决方案中的哪个或哪个最大化目标函数，我们继续用f（x，y）代替：
S1：f（1、0）= 1 2 + 2.0 2 = 1
S2：f（-1，0）=（-1）2 + 2.0 2 = 1
S3：f（0，1）= 0 2 + 2.1 2 = 2
S4：f（0，-1）= 0 2 + 2（-1）2 = 2
我们得出结论，当x和y属于圆周g（x，y）= 0时，最大化f的解为S3和S4。
（x = 0，y = 1）和（x = 0，y = -1）的值对在解区域g（x，y）= 0中使f（x，y）最大化。
-练习3（零梯度）
找到目标函数的解（x，y）：
f（x，y）= x 2 + 2 y 2
让是最大的区域g（X，Y）= X 2 + Y 2 - 1≤0。
解
此练习与练习2类似，但求解（或限制）区域延伸到圆周g（x，y）= 0的内部区域，也就是说延伸到圆周g（x，y）≤0。到圆周及其内部区域
在练习2中已经确定了边界处的解决方案，但内部区域仍有待探索。
为此，必须计算函数f（x，y）的梯度并将其设置为零，以在求解区域中找到极值。这等效于分别计算f相对于x和y的偏导数并将其设置为零：
∂f/∂x= 2 x = 0
∂f/∂y= 4 y = 0
该方程组具有属于圆g（x，y）≤0的唯一解（x = 0，y = 0）。
将该值替换为函数f会得出：
f（0，0）= 0
总之，对于（x = 0，y = -1）和（x = 0，y = -1）的值，函数在求解区域中取的最大值为2并出现在求解区域的边界处。
参考文献
- Avriel，M.，2003年。《非线性编程》。多佛出版。
- 巴扎拉 1979年。非线性编程。约翰·威利父子。
- Bertsekas，D.，1999年。《非线性编程：第二版》。雅典娜科学。
- Nocedal，J.1999。数值优化。施普林格出版社。
- 维基百科。非线性编程。从以下位置恢复：es.wikipedia.com