的叉积或向量积是两个或多个载体相乘的方式。有三种方法可以使向量相乘，但就单词的通常意义而言，这些方法都不是乘法。这些形式之一被称为载体产物，其产生第三载体。
叉积，也称为叉积或外积，具有不同的代数和几何性质。这些特性非常有用，尤其是在物理研究方面。
定义
向量乘积的形式定义如下：如果A =（a1，a2，a3）和B =（b1，b2，b3）是向量，则A和B的向量乘积（我们将其表示为AxB）是：
AxB =（a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1）
由于使用AxB标记，因此将其读取为“ A cross B”。
如何使用外积的一个示例是，如果A =（1、2、3）和B =（3，-2、4）是向量，则使用向量积的定义，我们可以得到：
AxB =（1、2、3）x（3，-2、4）=（2 * 4-3 *（-2），3 * 3-1 * 4、1 *（-2）-2 * 3）
AxB =（8 + 6，9-4-2-6）=（14，5，-8）。
表达矢量乘积的另一种方式是通过行列式表示。
二阶行列式的计算公式为：
因此，定义中给出的叉积公式可以重写为：
通常将其简化为三阶行列式，如下所示：
其中i，j，k代表形成R 3基础的向量。
使用这种表示叉积的方式，我们可以将前面的示例重写为：
物产
向量乘积具有的一些属性如下：
物业1
如果A是R 3中的任何向量，则我们具有：
-AxA = 0
-Ax0 = 0
-0xA = 0
仅使用定义即可轻松检查这些属性。如果A =（a1，a2，a3），我们有：
AxA =（a2a3-a3a2，a3a1-a1a3，a1a2-a2a1）=（0，0，0）= 0。
Ax0 =（a2 * 0-a3 * 0，a3 * 0-a1 * 0，a1 * 0-a2 * 0）=（0，0，0）= 0。
如果i，j，k表示R 3的单位基数，则可以将它们写为：
i =（1、0、0）
j =（0，1，0）
k =（0，0，1）
因此，我们具有以下属性为真：
作为记忆规则，通常使用以下圆圈来记住这些属性：
在那里，我们必须注意，任何向量本身都将得出向量0，其余乘积可通过以下规则获得：
顺时针方向上两个连续向量的叉积给出了下一个向量。当考虑逆时针方向时，结果是带有负号的下一个矢量。
由于这些特性，我们可以看到向量积不是可交换的；例如，仅注意ixj≠jx i。以下属性告诉我们AxB和BxA通常是如何关联的。
物业2
如果A和B是R 3的向量，则我们有：
AxB =-（BxA）。
示范
如果A =（a1，a2，a3）和B =（b1，b2，b3），根据外部乘积的定义，我们有：
AxB =（a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1）
=（-1）（a3b2-a2b3，a1b3-a3b1，a2b1-a1b2）
=（-1）（BxA）。
我们还可以看到该产品与以下示例没有关联：
ix（ixj）= ixk =-j但（ixi）xj = 0xj = 0
从中我们可以看到：
ix（ixj）≠（ixi）xj
物业3
如果A，B，C是R 3的向量，并且r是一个实数，则满足以下条件：
-Ax（B + C）= AxB + AxC
-r（AxB）=（rA）xB = Ax（rB）
由于这些特性，我们可以使用代数定律计算向量乘积，前提是要遵守顺序。例如：
如果A =（1,2,3）和B =（3，-2，4），我们可以根据R 3的规范基础来重写它们。
因此，A = i + 2j + 3k，而B = 3i-2j + 4k。然后，应用先前的属性：
AxB =（i + 2j + 3k）x（3i-2j + 4k）
= 3（ixi）-2（ixj）+ 4（ixk）+ 6（jxi）-4（jxj）+ 8（jxk）+ 9（kxi）-6（kxj）+12（kxk）
= 3（0）-2（k）+ 4（-j）+ 6（-k）-4（0）+ 8（i）+ 9（j）-6（-i）+12（0）
=-2k-4j-6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j-4k
=（14，5，-8）。
属性4（三点积）
正如我们在开始时提到的，除了向量乘积之外，还有其他方法可以使向量相乘。其中一种方法是标量积或内积，表示为A∙B，其定义为：
如果A =（a1，a2，a3）和B =（b1，b2，b3），则A∙B = a1b1 + a2b2 + a3b3
两种产品相关的特性称为三标量产品。
如果A，B和C是R 3的向量，则A∙BxC = AxB∙C
作为示例，让我们看到，给定A =（1，1，-2），B =（-3，4，2）和C =（-5，1，-4），满足此属性。
BxC =-3k-12j + 20k-16i-10j-2i =-18i-22j + 17k
A∙BxC =（1，1，-2）∙（-18，-22，17）=（1）（-18）+（1）（-22）+（-2）（17）=-74
另一方面：
AxB = 4k-2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k
AxB∙C =（10，4，7）∙（-5，1，-4）=（10）（-5）+（4）（1）+（7）（-4）=-74
另一个三元积是Ax（BxC），称为三元向量积。
属性5（三重矢量积）
如果A，B和C是R 3的向量，则：
轴（BxC）=（A∙C）B-（A∙B）C
作为示例，让我们看到，给定A =（1，1，-2），B =（-3，4，2）和C =（-5，1，-4），满足此属性。
从前面的示例中，我们知道BxC =（-18，-22，17）。让我们计算Ax（BxC）：
Ax（BxC）=-22k-17j + 18k + 17i + 36j-44i =-27i + 19j-4k
另一方面，我们必须：
A∙C =（1，1，-2）∙（-5，1，-4）=（1）（-5）+（1）（1）+（-2）（-4）=-5 + 1 + 8 = 4
A∙B =（1，1，-2）∙（-3，4，2）=（1）（-3）+（1）（4）+（-2）（2）=-3 + 4- 4 =-3
因此，我们必须：
（A∙C）B-（A∙B）C = 4（-3，4，2）+ 3（-5，1，-4）=（-12，16，8）+（-15，3， -12）=（-27,19，–4）
物业6
它是向量的几何特性之一。如果A和B是R 3中的两个向量，而ϴ是它们之间形成的夹角，则：
--AxB-- = --A ---- B-sin（ϴ），其中-∙-表示矢量的模量或大小。
此属性的几何解释如下：
设A = PR，B = PQ。因此，向量A和向量B形成的角度为三角形RQP的角度P，如下图所示。
因此，以PR和PQ为相邻边的平行四边形的面积为--A ---- B-sin（ϴ），因为我们可以将--A-作为基础，其高度由下式给出--B-罪（ϴ）。
因此，我们可以得出结论-AxB-是上述平行四边形的面积。
例
给定以下四边形的顶点P（1，–2,3），Q（4，3，–1），R（2，2,1）和S（5,7，-3）的顶点，表明该四边形是平行四边形并找到其面积。
为此，我们首先确定确定四边形边方向的向量。这是：
A = PQ =（1-4，3 + 2，-1-3）=（3，5，-4）
B = PR =（2-1，2 + 2，1-3）=（1，4，-2）
C = RS =（5-2，7-2-3-1）=（3，5，-4）
D = QS =（5-4，7-3，-3 +1）=（1，4，-2）
正如我们所看到的，A和C具有相同的指向矢矢量，因此对于它们来说，它们是平行的。B和D也会发生同样的情况。因此，我们得出结论，PQRS是平行四边形。
为了获得此平行四边形的面积，我们计算BxA：
BxA =（i + 4j-2k）x（3i + 5j-4k）
= 5k + 4j-12k-16i-6j + 10i
=-6i-2j-7k。
因此，面积的平方将是：
--BxA-- 2 =（-6）2 +（-2）2 +（-7）2 = 36 + 4 + 49 = 89。
可以得出结论，平行四边形面积将为89的平方根。
物业7
当且仅当AxB = 0时，两个向量A和B在R 3中平行
示范
显然，如果A或B为空向量，则满足AxB =0。由于零向量与任何其他向量平行，所以该属性有效。
如果两个向量都不是零向量，则它们的大小不同于零；也就是说，-A--≠0和--B--≠0，因此当且仅当sin（ϴ）= 0时，我们才会使--AxB-- = 0，并且当且仅当ϴ =π或ϴ = 0。
因此，当且仅当ϴ =π或ϴ = 0时，才可以得出AxB = 0的结论，只有当两个向量彼此平行时才会发生。
物业8
如果A和B是R 3中的两个向量，则AxB垂直于A和B。
示范
为了证明这一点，让我们记住，如果A∙B等于零，则两个向量是垂直的。此外，我们知道：
A∙AxB = AxA∙B，但是AxA等于0。因此，我们有：
A∙AxB = 0∙B = 0。
由此我们可以得出结论，A和AxB彼此垂直。类似地，我们必须：
AxB∙B = A∙BxB。
由于BxB = 0，我们有：
AxB∙B = A∙0 = 0。
因此，AxB和B彼此垂直，并且由此证明了该特性。这对我们非常有用，因为它们使我们能够确定平面方程。
例子1
获得通过点P（1、3、2），Q（3，-2、2）和R（2、1、3）的平面方程。
设A = QR =（2-3.1 + 2，3-2），B = PR =（2-1.1-3，3-2）。那么A =-i + 3j + k和B = i-2j + k。要找到由这三个点形成的平面，只需找到一个垂直于该平面的向量AxB就足够了。
AxB =（-i + 3j + k）x（i-2j + k）= 5i + 2j-k。
有了这个向量，并取点P（1、3、2），我们可以如下确定平面方程：
（5，2，-1）∙（x-1，y-3，z-2）= 5（x-1）+ 2（y-3）-（z-2）= 0
因此，我们认为平面的方程为5x + 2y-z-9 = 0。
例子2
找到包含点P（4，0，-2）且垂直于每个平面x-y + z = 0和2x + y-4z-5 = 0的平面方程。
知道平面ax + + + cz + d = 0的法线向量为（a，b，c），我们知道（1，-1,1）是x-y + z = 0 y（ 2,1，-4）是2x + y-4z-5 = 0的法向向量。
因此，寻找平面的法向矢量必须垂直于（1，-1,1）和（2，1，-4）。该向量是：
（1，-1,1）x（2,1，-4）= 3i + 6j + 3k。
然后，我们要寻找的平面是一个包含点P（4,0，-2）并具有向量（3,6,3）作为法向向量的平面。
3（x-4）+ 6（y-0）+ 3（z + 2）= 0
x + 2y + z-2 = 0。
应用领域
平行六面体的体积计算
具有三标量积的应用程序应能够计算出平行六面体的体积，该平行六面体的边缘由向量A，B和C给出，如图所示：
我们可以通过以下方式推断该应用程序：如前所述，向量AxB是垂直于A和B平面的向量。我们还拥有向量-（AxB）是另一个垂直于所述平面的向量。
我们选择与向量C形成最小角度的法向向量；不失一般性，设AxB为与C的角度最小的向量。
我们认为AxB和C具有相同的起点。此外，我们知道构成平行六面体基础的平行四边形的面积为--AxB--。因此，如果平行六面体的高度为h，则其体积将为：
V = --AxB-h。
另一方面，让我们考虑一下AxB和C之间的点积，其描述如下：
但是，通过三角函数，我们具有h = --C-cos（ϴ），因此我们具有：
这样，我们可以做到：
一般而言，平行六面体的体积由三标量积AxB∙C的绝对值给出。
解决的练习
练习1
给定点P =（5，4，5），Q =（4，10，6），R =（1，8，7）和S =（2，6，9），这些点形成一个平行六面体，其边缘它们是PQ，PR和PS。确定所述平行六面体的体积。
解
如果我们采取：
-A = PQ =（-1，6，1）
-B = PR =（-4、4、2）
-C = PS =（-3，2，2）
使用三标量积属性，我们有：
AxB =（-1，6，1）x（-4，4，2）=（8，-2，20）。
AxB∙C =（8，-2，20）∙（-3，2，2）= -24 -4 +80 = 52。
因此，我们认为所述平行六面体的体积为52。
练习2
确定边为A = PQ，B = PR和C = PS的平行六面体的体积，其中点P，Q，R和S为（1、3、4），（3、5、3）， （2，1，6）和（2，2，5）。
解
首先我们有A =（2，2，-1），B =（1，-2，2），C =（1，-1，1）。
我们计算AxB =（2，2，-1）x（1，-2，2）=（2，-5，-6）。
然后我们计算AxB∙C：
AxB∙C =（2，-5，-6）∙（1，-1，1）= 2 + 5-6 = 1。
因此，我们得出结论，所述平行六面体的体积为1立方单位。
参考文献
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