给定矩阵的逆矩阵是与原始矩阵相乘得到的单位矩阵。逆矩阵对于求解线性方程组很有用，因此知道如何计算它的重要性。
矩阵在物理学，工程学和数学中非常有用，因为它们是解决复杂问题的紧凑工具。当矩阵是可逆的并且它们的逆数也是已知的时，矩阵的效用得到增强。
图1.显示了一个普通的2×2矩阵及其逆矩阵。（由里卡多·佩雷斯制作）
在图形处理，大数据，数据挖掘，机器学习等领域，高效且快速的算法用于评估n很大的nxn矩阵的逆矩阵，数量级为数千或数百万。
为了说明在处理线性方程组中逆矩阵的使用，我们将从所有最简单的情况开始：1×1矩阵。
最简单的情况：考虑单个变量的线性方程：2 x = 10。
这个想法是要找到x的值，但是它将用“矩阵”完成。
乘以向量（x）的矩阵M =（2）是一个1×1矩阵，得出向量（10）：
M（x）=（10）
矩阵M的逆由M -1表示。
编写此“线性系统”的一般方法是：
MX = B，其中X是向量（x），B是向量（10）。
根据定义，逆矩阵是一个乘以原始矩阵得出的单位矩阵I：
M -1 M =我
在考虑的情况下，矩阵M -1是矩阵（1/2），即M -1 =（1/2），因为M -1 M =（1/2）（2）=（1）= I
为了找到未知向量X =（x），在提出的方程式中，两个成员都乘以逆矩阵：
M -1 M（x）= M -1（10）
（1/2）（2）（x）=（1/2）（10）
（1/2 2）（x）=（1/2 10）
（1）（x）=（5）
（x）=（5）
两个向量相等，仅当两个向量的对应元素相等时才相等，即x = 5。
计算矩阵的逆
激发逆矩阵计算的动机是找到一种线性方法的通用方法，例如以下2×2系统：
x-2 y = 3
-x + y = -2
按照上一节中研究的1×1情况的步骤，我们以矩阵形式编写方程组：
图2.矩阵形式的线性系统。
请注意，此系统以紧凑的矢量符号编写，如下所示：
MX = B
哪里
下一步是找到M的逆。
方法1：使用高斯消除
将采用高斯消除法。其中包括对矩阵的行执行基本运算，这些运算是：
-将行乘以非零数字。
-从一行中添加或减去另一行，或另一行的倍数。
-交换行。
目的是通过这些操作将原始矩阵转换为恒等矩阵。
这样一来，在矩阵M中，完全相同的操作将应用于单位矩阵。在对行M进行几次运算后，将其转换为unit矩阵，则原来为单位的矩阵将变为M的逆矩阵，即M -1。
1-我们通过写矩阵M并在其旁边写入单位矩阵开始该过程：
2-我们将两行相加，然后将结果放入第二行，这样我们在第二行的第一元素中获得零：
3-我们将第二行乘以-1，以获得第二行中的0和1：
4-第一行乘以½：
5-第二和第一相加，结果放在第一行：
6-现在完成该过程，将第一行乘以2，以获得第一行中的恒等矩阵，并在第二行中获得原始矩阵M的逆矩阵：
也就是说：
系统解决方案
一旦获得逆矩阵，就可以通过将逆矩阵应用于紧向量方程的两个成员来求解方程组：
M -1 M X = M -1 B
X = M -1 B
显式如下所示：
然后进行矩阵乘法以获得向量X：
方法2：使用附加矩阵
在第二种方法中，根据原始矩阵A的伴随矩阵计算逆矩阵。
假设矩阵A由下式给出：
其中i，j是矩阵A的第i行和第j列中的元素。
矩阵A的伴随称为Adj（A），其元素为：
ad i，j =（-1）（i + j） Αi，j¦
其中Ai，j是通过消除原始矩阵A的第i行和第j列而获得的互补下矩阵。柱形 ¦表示已计算出行列式，即，Ai，j是次要互补矩阵的行列式。
逆矩阵公式
从原始矩阵的邻接矩阵开始查找逆矩阵的公式如下：
是，的逆矩阵甲，甲-1，是伴随的转置甲除以的行列式甲。
矩阵A的转置A T 是通过将行交换为列而获得的，也就是说，第一行成为第一列，第二行成为第二列，依此类推，直到完成原始矩阵的n行为止。
运动解决
令矩阵A如下：
计算A的伴随矩阵的每个元素：Adj（A）
结果是，A的伴随矩阵Adj（A）为：
然后计算矩阵A的行列式det（A）：
最终得到A的逆矩阵：
参考文献
- Anthony Nicolaides（1994）行列式和矩阵。通过发布。
- Awol Assen（2013）关于3×3的行列式计算的研究
- Casteleiro Villalba M.（2004）线性代数导论。ESIC社论。
- Dave Kirkby（2004）数学连接。海涅曼。
- 珍妮·奥利夫（Jenny Olive）（1998）数学：学生生存指南。剑桥大学出版社。
- 理查德·布朗（Richard J.Brown）（2012年）30秒数学：数学中50个最扩展思维的理论。常春藤出版社。
- 矩阵。Lap Lambert学术出版。