在数理逻辑或符号逻辑是一种数学语言，覆盖了工具，通过它可以确认或否认数学推理。
众所周知，数学上没有歧义。给定一个数学参数，它要么有效要么就根本无效。它不能同时为假和真。
数学的一个特殊方面是它具有形式和严谨的语言，可以用来确定论点的有效性。是什么使得某种推理或任何数学证明都无法辩驳？这就是数学逻辑的全部内容。
因此，逻辑学是一门数学学科，负责研究数学推理和证明，并提供能够从先前的陈述或命题中推断出正确结论的工具。
为此，使用了公理和其他数学方面，这些方面将在以后开发。
起源与历史
关于数学逻辑的许多方面的确切日期尚不确定。但是，有关该主题的大多数书目都可以追溯到古希腊。
亚里士多德
严格对待逻辑的开始部分归功于亚里斯多德，他写了一套逻辑著作，后来被不同的哲学家和科学家收集和发展，直到中世纪。这可以被认为是“旧逻辑”。
后来，在所谓的当代时代，莱布尼兹（Leibniz）怀着建立通用数学语言进行数学推理的强烈愿望，其他数学家（例如Gottlob Frege和Giuseppe Peano）显着地影响了数学逻辑的发展。 ，其中包括Peano公理，它表达了自然数不可缺少的特性。
数学家乔治·布尔（George Boole）和格奥尔格·坎托（Georg Cantor）当时也产生了巨大的影响，在集合论和真值表方面做出了重要贡献，其中突出了布尔代数（乔治·布尔）（George Boole）和《选择公理》。 （由George Cantor撰写）。
还有奥古斯都·德·摩根（Augustus De Morgan）和著名的摩根定律，其中考虑命题之间的取反，合取，析取和条件，符号逻辑发展的关键，以及约恩·维恩（Jhon Venn）和著名的维恩图。
在20世纪，大约在1910至1913年之间，伯特兰·罗素（Bertrand Russell）和阿尔弗雷德·北·怀特海德（Alfred North Whitehead）出版了《数学原理》（Principia mathematica），这是一本集收集，发展和假设一系列公理和逻辑结果的书籍而引人注目。
数学逻辑研究什么？
命题
数学逻辑始于命题的研究。命题是一个陈述，无论陈述是正确的还是不正确的。以下是命题示例：
- 2 + 4 = 6。
- 5 2 = 35。
- 1930年，欧洲发生地震。
第一个是正确的陈述，第二个是错误的陈述。第三个，即使阅读它的人可能不知道它是真实的还是立即的，也是可以测试和确定它是否真的发生的陈述。
以下是不是命题的表达式的示例：
- 她是金发。
- 2x = 6。
- 让我们玩！
- 你喜欢电影吗
在第一个命题中，没有具体说明“她”是谁，因此没有什么可以肯定的。在第二个命题中，“ x”代表的含义没有指定。相反，如果说对于某个自然数x 2x = 6，那么在这种情况下它将对应于一个命题，实际上是正确的，因为对于x = 3而言，它可以满足。
最后两个陈述与命题不符，因为没有办法否认或肯定它们。
可以使用众所周知的逻辑连接词（或连接器）来组合（或连接）两个或多个命题。这些是：
- 否认：“不下雨。”
- 分离语：“路易莎（Luisa）买了一个白色或灰色的书包。”
- 连词：“ 4 2 = 16和2×5 = 10”。
- 有条件的：“如果下雨，那我今天下午不去健身房。”
- 双条件：“今天下午，只有在不下雨的时候，我才去健身房。”
没有任何先前连接词的命题称为简单（或原子）命题。例如，“ 2小于4”是一个简单的命题。具有连接词的命题称为复合命题，例如“ 1 + 3 = 4且4是偶数”。
通过命题进行的陈述通常很长，因此，总要写下到目前为止所看到的内容，这很繁琐。因此，使用了象征性语言。命题通常用大写字母表示，例如P，Q，R，S等。和符号连接词如下：
以便
该逆条件命题
是命题
而反倒数（或对换的）命题
是命题
真相表
逻辑中的另一个重要概念是真值表。命题的真值是命题的两种可能性：true（将由V表示，其真实值是V）或false（将由F表示并将其值表示）真的是F）。
复合命题的真值完全取决于其中出现的简单命题的真值。
为了更一般地工作，我们将不考虑特定的命题，而是命题变量p，q，r，s等，它们代表任何命题。
利用这些变量和逻辑连接词，就形成了众所周知的命题公式，就像建立了复合命题一样。
如果将命题公式中出现的每个变量替换为一个命题，则会获得复合命题。
以下是逻辑连接词的真值表：
有些命题公式在其真值表中仅接收值V，也就是说，其真值表的最后一列仅具有值V。这些类型的公式称为重言式。例如：
以下是公式的真值表
如果每次β为真时，如果α为真，则公式α在逻辑上表示另一个公式β。即，在α和β的真值表中，其中α具有V，β也具有V的行。我们仅对α具有值V的行感兴趣。逻辑含义的表示如下：
下表总结了逻辑含义的属性：
如果两个命题公式的真值表相同，则它们在逻辑上是等效的。以下表示法用于表示逻辑等效项：
下表总结了逻辑等效性的属性：
数学逻辑的类型
逻辑有多种类型，尤其是如果其中考虑了指向哲学的实用或非正式逻辑，等等。
就数学而言，逻辑的类型可以概括为：
- 形式逻辑或亚里士多德逻辑（古代逻辑）。
- 命题逻辑：它负责使用形式和符号语言研究与论点和命题有效性相关的所有事物。
- 符号逻辑：也以形式和符号语言集中于对集合及其性质的研究，并且与命题逻辑紧密联系。
- 组合逻辑：最近开发的一种，涉及可以使用算法开发的结果。
- 逻辑编程：用于各种程序包和编程语言。
地区
在其推理和论证发展中必不可少的方式中使用数学逻辑的领域中，突出的是哲学，集合论，数论，代数构造数学和编程语言。
参考文献
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- Castañeda，S.（2016年）。数论基础课程。北方大学。
- Cofré，A。和Tapia，L。（1995）。如何发展数学逻辑推理。大学出版社。
- 萨拉戈萨，AC（SF）。数论 编辑远景Libros。