的欧几里德距离是一个正数，指示在欧几里得几何的公理和定理被满足的空间的两个点之间的距离。
欧几里得空间中两个点A和B之间的距离是矢量AB的长度，该矢量属于通过这些点的唯一直线。
图1 。由线（OX）形成的一维欧几里德空间。在所述空间上显示了几个点，它们的坐标和距离。（由里卡多·佩雷斯编写）。
人类感知的空间以及我们要移动的空间是三维空间（3-D），其中满足了欧几里得几何的公理和定理。在该空间中包含二维子空间（平面）和一维子空间（线）。
欧式空间可以是一维（1-D），二维（2-D），三维（3-D）或n维（nD）。
一维空间X中的点是属于定向线（OX）的点，从O到X的方向是正方向。为了在该线上找到点，使用笛卡尔系统，该系统包括为该线的每个点分配一个数字。
式
位于一条线上的点A和B之间的欧几里得距离d（A，B）被定义为其X坐标之差的平方的平方根：
d（A，B）=√（（XB-XA）^ 2）
此定义保证：两点之间的距离始终为正数。并且A与B之间的距离等于B与A之间的距离。
图1显示了由线（OX）和该线上的几个点形成的一维欧几里得空间。每个点都有一个坐标：
点A的坐标XA = 2.5，点B的坐标XB = 4和点C的坐标XC = -2.5
d（A，B）=√（（4-2.5）2）= 1.5
d（B，A）=√（（2.5-4）2）= 1.5
d（A，C）=√（（-2.5-2.5）2）= 5.0
二维欧氏距离
二维欧几里得空间是一个平面。欧几里得平面的点满足欧几里得几何学的公理，例如：
-一条直线穿过两个点。
-平面上的三个点形成一个三角形，其内角总和为180º。
-在直角三角形中，斜边的平方等于其两边的平方之和。
在二维中，一个点具有X和Y坐标。
例如点P具有坐标（XP，YP）和点Q具有坐标（XQ，YQ）。
P点和Q点之间的欧几里得距离用以下公式定义：
d（P，Q）=√（（XQ-XP）^ 2 +（YQ-YP）^ 2）
应当注意，该公式等效于勾股定理，如图2所示。
图2.平面中两个点P和Q之间的距离符合毕达哥拉斯定理。（由里卡多·佩雷斯编写）。
非欧氏表面
并非所有的二维空间都符合欧几里得几何。球体的表面是二维空间。
球形表面上的三角形角度之和不等于180º，因此不能满足毕达哥拉斯定理，因此球形表面不能满足欧几里得公理。
欧氏距离（n维）
坐标的概念可以扩展到更大的尺寸：
-在二维点P具有坐标（XP，YP）
-在3-D中，点Q的坐标为（XQ，YQ，ZQ）
-在4-D中，点R将具有坐标（XR，YR，ZR，WR）
-在nD中，点P将具有坐标（P1，P2，P3，…..，Pn）
n维欧氏空间的两个点P和Q之间的距离是用以下公式计算的：
d（P，Q）=√（（Q1-P1）^ 2 +（Q2-P2）^ 2 +…….. +（Qn-Pn）^ 2）
与另一个固定点P（中心）等距的n维欧氏空间中所有点Q的轨迹形成n维超球面。
如何计算欧几里得距离
下面显示了如何计算位于欧几里得三维空间中的两点之间的距离。
假设笛卡尔坐标x，y，z的点A由A:(2，3，1）给出，而坐标B:(-3，2，2）给出的点B。
我们要确定这些点之间的距离，为此使用了一般关系：
d（A，B）=√（（-3-2）2 +（2-3）2 +（2-1）2）=√（（-5）2 +（-1）2 +（1）2 ）
d（A，B）=√（25 +1 + 1）=√（27）=√（9 * 3）= 3√（3）= 5,196
例
P和Q有两个点。笛卡尔坐标x，y，z的点P由P:(2，3，1）给出，而坐标Q:(-3，2，1）给出的点Q。
要求找到连接两个点的线段的中点M的坐标。
假设未知点M具有坐标（X，Y，Z）。
由于M是的中点，因此d（P，M）= d（Q，M）必须为真，因此d（P，M）^ 2 = d（Q，M）^ 2也必须为真：
（X-2）^ 2 +（Y-3）^ 2 +（Z-1）^ 2 =（X-（-3））^ 2 +（Y-2）^ 2 +（Z-1）^ 2
在这种情况下，第三项在两个成员中均相等，因此前面的表达式简化为：
（X-2）^ 2 +（Y-3）^ 2 =（X + 3）^ 2 +（Y-2）^ 2
然后，我们有一个带有两个未知数X和Y的方程。解决这个问题需要另一个方程。
点M属于穿过点P和Q的线，我们可以计算如下：
首先，我们找到该行的导向向量PQ：PQ = <-3-2，2-3，1-1> = <-5，-1，0>。
然后PM = OP + a PQ，其中OP是点P的位置向量，并且是属于实数的参数。
上面的方程式被称为直线的向量方程式，在笛卡尔坐标系中采取以下形式：
<X-2，Y-3，Z-1> = <2，3，1> + a <-5，-1，0> = <2-5a，3-a，0>
等同于我们拥有的相应组件：
X-2 = 2-5 a; Y-3 = 3 -a; Z-1 = 0
也就是说，X = 4-5a，Y = 6-a，最后Z = 1。
在将X与Y相关的二次表达式中将其替换：
（4-5a-2）^ 2 +（6-a-3）^ 2 =（4-5a + 3）^ 2 +（6-a-2）^ 2
简化为：
（2-5a）^ 2 +（3 -a）^ 2 =（7-5a）^ 2 +（4-a）^ 2
现在展开：
4 + 25 a ^ 2-20a + 9 + a ^ 2-6a = 49 + 25 a ^ 2-70a + 16 + a ^ 2-8a
它被简化，取消了两个成员中的相似术语：
4-20a + 9-6a = 49-70a + 16-8a
清除参数a：
52 a = 49 + 16-4-9 = 52导致a = 1。
也就是说，X = 4-5，Y = 6-1，最后Z = 1。
最后，我们获得线段中点M的笛卡尔坐标：
M：（-1、5、1）。
参考文献
- Lehmann C.（1972）分析几何学。UTEHA。
- 超级教授。两点之间的距离。从以下位置恢复：superprof.es
- 联阿特派团。仿射亚线性流形之间的距离。从以下位置恢复：prometeo.matem.unam.mx/
- 维基百科。欧氏距离。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
- 维基百科。欧氏空间。从以下位置恢复：es.wikipedia.com