数学上的近似值是一个数字，它不是某物的精确值，但是非常接近它，以至于它被认为与该精确值一样有用。
在数学中进行近似时，是因为手动很难（有时甚至是不可能）知道所需的精确值。
近似法的主要工具是函数的微分。
函数f的微分，用Δf（x）表示，仅是函数f的导数乘以自变量的变化，即Δf（x）= f'（x）*Δx。
有时使用df和dx代替Δf和Δx。
使用微分近似
精确地通过微分进行逼近的公式源自于将函数的导数定义为极限。
该公式由下式给出：
f（x）≈f（x0）+ f'（x0）*（x-x0）= f（x0）+ f'（x0）*Δx。
在此应理解，Δx＝ x-x0，因此x ＝ x0 +Δx。使用此公式可以重写为
f（x0 +Δx）≈f（x0）+ f'（x0）*Δx。
应当注意，“ x0”不是任意值，而是容易知道f（x0）的值。此外，“ f（x）”只是我们要近似的值。
有更好的近似值吗？
答案是肯定的。上面是最简单的近似值，称为“线性近似值”。
为了获得更好的质量近似值（误差较小），使用了具有更多导数的多项式，称为“泰勒多项式”，以及其他数值方法，例如Newton-Raphson方法。
战略
遵循的策略是：
-选择合适的函数f进行逼近，并选择值“ x”，使f（x）为要逼近的值。
-选择接近“ x”的值“ x0”，以便易于计算f（x0）。
-计算Δx= x-x0。
-计算函数y f'（x0）的导数。
-将数据替换为公式中的数据。
解决了近似练习
接下来的一系列练习将使用微分进行近似。
第一次练习
大约√3。
解
根据该策略，必须选择合适的功能。在这种情况下，可以看出选择的函数必须为f（x）=√x，近似值是f（3）=√3。
现在，我们必须选择一个接近“ 3”的值“ x0”，以便易于计算f（x0）。如果选择“ x0 = 2”，则“ x0”接近“ 3”，但是f（x0）= f（2）=√2不容易计算。
由于“ 4”接近“ 3”，并且f（x0）= f（4）=√4= 2，因此“ x0”的适当值为“ 4”。
如果“ x ＝ 3”和“ x0 ＝ 4”，则Δx＝ 3-4 ＝ -1。现在我们开始计算f的导数。也就是说，f'（x）= 1/2 *√x，因此f'（4）= 1 /2√4= 1/2 * 2 = 1/4。
将所有值替换为公式即可得到：
√3= f（3）≈2 +（1/4）*（-1）= 2-1/4 = 7/4 = 1.75。
如果使用计算器，则得出√3≈1.73205…。这表明先前的结果是真实值的良好近似值。
第二次练习
大约√10。
解
如前所述，选择f（x）=√xy作为函数，在这种情况下，x = 10。
这次选择的x0值为“ x0 = 9”。然后我们得到Δx= 10-9 = 1，f（9）= 3和f'（9）= 1 /2√9= 1/2 * 3 = 1/6。
在公式中求值时，可以得出
√10= f（10）≈3 +1 * 1/6 = 3 +1/6 = 19/6 = 3.1666…
使用计算器可以得出√10≈3.1622776…在这里还可以看出，以前已经获得了很好的近似值。
第三次练习
近似³√10，其中³√表示立方根。
解
显然，此练习中使用的函数为f（x）=³√x，并且“ x”的值必须为“ 10”。
使其立方根已知的接近“ 10”的值是“ x0 = 8”。那么我们有Δx= 10-8 = 2并且f（x0）= f（8）=2。我们也有f'（x）= 1/3 *³√x²，因此f'（8）= 1/3 *√√8²= 1/3 *√√64= 1/3 * 4 = 1/12。
将数据代入公式，可得出：
³√10= f（10）≈2 +（1/12）* 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666…。
计算器说³√10≈2.15443469…因此，发现的近似值很好。
第四练习
近似ln（1.3），其中“ ln”表示自然对数函数。
解
首先我们选择f（x）= ln（x）作为函数，“ x”的值为1.3。现在，稍微了解了对数函数，我们可以知道ln（1）= 0，而且“ 1”接近于“ 1.3”。因此，选择“ x0 ＝ 1”，从而Δx＝ 1.3-1 ＝ 0.3。
另一方面f'（x）= 1 / x，因此f'（1）= 1。在给定公式中进行评估时，我们有：
ln（1.3）= f（1.3）≈0 +1 * 0.3 = 0.3。
使用计算器，我们得到ln（1.3）≈0.262364…因此，得出的近似值很好。
参考文献
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