等腰梯形：性质，关系和公式，实例 - 数学 - 2025

的等腰梯形是四边形，其中两个侧面是互相平行，另外，在两个相邻角向那些平行边中的一个具有相同的量度。

在图1中，我们有四边形ABCD，其中边AD和BC平行。另外，与平行侧AD相邻的角度∠DAB和∠ADC具有相同的量度α。

图1。等腰梯形。资料来源：F. Zapata。

因此，此四边形或四边形多边形实际上是等腰梯形。

在梯形中，平行边称为底边，非平行边称为侧边。另一个重要特征是高度，它是分隔平行边的距离。

除了等腰梯形外，还有其他类型的梯形：

-T斜方肌斜角肌，具有所有角度和不同侧面。

-矩形梯形，其中一侧具有直角相邻的角。

梯形形状在设计，建筑，电子，计算等等的各个领域都很常见，这将在后面看到。因此，熟悉其特性的重要性。

物产

等腰梯形独有

如果梯形是等腰，则它具有以下特征：

1.-侧面的尺寸相同。

2.-与基座相邻的角度相等。

3.-对角是互补的。

4.-对角线具有相同的长度，连接相对顶点的两个线段相同。

5.-底部和对角线之间形成的角度均相同。

6.-它具有外接圆。

相反，如果梯形满足以上任一特性，则为等腰梯形。

如果在等腰梯形中，一个角度是正确的（90º），则所有其他角度也将是正确的，从而形成一个矩形。即，矩形是等腰梯形的特例。

图2.爆米花容器和学校桌子的形状类似等腰梯形。资料来源：Pxfuel（左）/ McDowell Craig通过Flickr。（对）

对于所有飞人

以下属性集对任何梯形均有效：

7.-梯形的中值，即连接其不平行边的中点的线段，与任何底边平行。

8.-中位数的长度等于其基数的半和（总和除以2）。

9.-梯形的中值在中点处切开其对角线。

10.-梯形的对角线在一个点相交，将它们分成与底商成比例的两部分。

11.-梯形的对角线平方的总和等于其边的平方和其底数的乘积之和。

12.-连接对角线中点的线段的长度等于底边的半差。

13.-与侧面相邻的角度是互补的。

14.-梯形具有一个内切周长，当且仅当其底数之和等于其边之和。

15.-如果梯形具有内接的圆周，则在所述圆周的中心与穿过同一侧的端部的侧具有顶角的角度是直角。

关系和公式

下面的关系和公式集参考图3，其中除了等腰梯形之外，还显示了已经提到的其他重要部分，例如对角线，高度和中位数。

图3.等腰梯形的中值，对角线，高度和外接圆周。资料来源：F. Zapata。

等腰梯形的独特关系

1.- AB =直流= c = d

2.-∡DAB=∡CDA和∡ABC=∡BCD

3.-∡DAB+∡BCD=180º和∡CDA+∡ABC=180º

4.- BD = AC

5.-∡CAD=∡BDA=∡CBD=∡BCA=α ₁

6.- A，B，C和D属于外接圆。

空中飞人的关系

1. 如果AK = KB且DL = LC⇒KL-AD和KL-BC

8.- KL =（AD + BC）/ 2

9.- AM = MC = AC / 2和DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC和DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² +2⋅AD⋅BC

12.- MN =（AD-BC）/ 2

13.-∡DAB+∡ABC=180º和∡CDA+∡BCD=180º

14.-如果AD + BC = AB + DC⇒∃R比与AD，BC，AB和DC等距

15.-如果∃R与AD，BC，AB和DC等距，则：

∡BRA=∡DRC=90º

内切周等腰梯形的关系

如果在一个等腰梯形中，底边的总和等于侧边的两倍，则存在内切周长。

图4.内接梯形的梯形。资料来源：F. Zapata。

当等腰梯形具有内切周长时，以下属性适用（请参见上面的图4）：

16.-KL = AB = DC =（AD + BC）/ 2

17.-对角线成直角相交：AC⊥BD

18.-高度与中位数相同：HF = KL，即h = m。

19.-高度的平方等于底数的乘积：h ² =BC⋅AD

20.-在这些特定条件下，梯形的面积等于高度的平方或底数的乘积：面积= h ² =BC⋅AD。

确定一侧，知道另一侧和一个角度的公式

知道一个底面，侧面和角度，可以通过以下方式确定另一个底面：

a = b + 2c Cosα

b = a-2c Cosα

如果将底边的长度和角度作为已知数据给出，则两侧的长度为：

c =（a-b）/（2 Cosα）

确定一侧，知道另一侧和对角线

a =（d ₁ ² -c ²）/ b;

b =（d ₁ ² -c ²）/ a

c =√（d ₁ ² -a⋅b）

其中d ₁是对角线的长度。

底座的高度，面积和其他底座

a =（2 A）/ h-b

b =（2 A）/ h-a

已知的横向底面，面积和角度

c =（2A）/

已知的横向中线，面积和角度

c = A /（m sinα）

边高已知

h =√

已知高度一个角度和两个侧面

h = tgα⋅（a-b）/ 2 = c。正弦α

已知对角线的所有侧面，或两侧和一个角度

d ₁ =√（c ² + ab）

d ₁ =√（A ² + C ² - 2交流的Cosα）

d ₁ =√（B ² + C ² - 2 BC的Cosβ）

等腰三角形的周长

P = a + b + 2c

等腰梯形面积

根据已知数据，有几个公式可以计算面积。以下是最知名的，具体取决于基准和高度：

A =h⋅（a + b）/ 2

您还可以使用以下其他功能：

-如果双方都知道

A =√

-当你有两个侧面和一个角度

A =（b + c Cosα）c Senα=（a-c Cosα）c Senα

-如果已知内切圆的半径和角度

A = 4 r ² / Senα= 4 r ² / Senβ

-知道底数和角度时

A =a⋅b/ Senα=a⋅b/ Senβ

-如果梯形可以内接圆周

A =c⋅√（a⋅b）=m⋅√（a⋅b）=r⋅（a + b）/ 2

-知道对角线和它们彼此形成的角度

A =（d ₁ ² /2）γ=森（d ₁ ² /2）δ森

-当您有侧面，中位数和角度时

A = mc.senα= mc.senβ

外接圆的半径

仅等腰梯形具有外接圆。如果_已知较大的底边a，侧面c和对角线d ₁，则穿过梯形的四个顶点的圆的半径R为：

R =a⋅c⋅d ₁ /4√

其中p =（a + c + d ₁）/ 2

使用等腰梯形的例子

等腰梯形出现在设计领域，如图2所示。这是一些其他示例：

在建筑和施工中

古代印加人知道等腰梯形，并将其用作秘鲁库斯科省此窗口中的建筑元素：

图5。Coricancha，库斯科的梯形窗户。资料来源：维基共享资源。

梯形再次出现在所谓的梯形板中，这种材料经常用于建筑中：

图6.梯形金属板临时保护建筑物的窗户。资料来源：维基共享资源。

在设计中

我们已经看到等腰梯形出现在日常物品中，包括像巧克力棒这样的食物：

图7.巧克力棒的形状像等腰梯形。资料来源：Pxfuel。

解决的练习

-练习1

等腰梯形的底边大于9厘米，底边小于3厘米，对角线各为8厘米。计算：

在旁边

b）身高

c）周长

d）面积

图8.练习方案1.来源：F. Zapata

解决方案

绘制高度CP = h，其中高度的脚定义线段：

PD = x =（ab）/ 2 y

AP = a-x = a-a / 2 + b / 2 =（a + b）/ 2。

将勾股定理用于直角三角形DPC：

c ^ ² = H ² +（A - B）² /4

同样在右三角形APC上：

d ² = H ² + AP ² = H ² +（A + B）² /4

最后，逐个成员地减去，从第一个方程式中简化出第二个方程式：

d ² -c ² =¼=¼

d ² -c ² =¼= ab

c ^ ² = D ² - AB⇒C =√（d ² - AB）=√（8 ² - 9⋅3）=√37=6.08厘米

解决方案b

ħ ² = D ² - （A + B）² /4 = 8 ² - （12 ² /2 ²）= 8 ² - 6 ² = 28

h = 2√7= 5.29厘米

解决方案c

周边= a + b + 2 c = 9 + 3 +2⋅6.083= 24.166 cm

解决方案d

面积= h（a + b）/ 2 = 5.29（12）/ 2 = 31.74厘米

-练习2

有一个等腰梯形，其大底是小底的两倍，而小底等于高度，即6厘米。决定：

a）侧面的长度

b）周长

c）面积

d）角度

图8.练习方案2.来源：F. Zapata

解决方案

数据：a = 12，b = a / 2 = 6，h = b = 6

我们进行如下操作：绘制高度h并将勾股定理应用于斜边三角形«c»以及边h和x：

c ² = h ² + xc ²

然后，您必须根据数据（h = b）和腿的x来计算高度的值：

a = b + 2 x⇒x =（ab）/ 2

用前面的表达式代替：

c ^ ² = B ² +（AB）² /2 ²

现在介绍数值并进行简化：

c ² = 62+（12-6）2/4

c ² = 62（1 +¼）= 62（5/4）

获得：

c =3√5= 6.71厘米

解决方案b

周长P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 +6√5= 6（8 +√5）= 61.42厘米

解决方案c

面积与底座高度和长度的关系为：

A =h⋅（a + b）/ 2 =6⋅（12 + 6）/ 2 = 54厘米²

解决方案d

底边较大的侧面形成的角度α是通过三角函数得出的：

Tan（α）= h / x = 6/3 = 2

α= ArcTan（2）=63.44º

另一个角度（与底边较小的侧面形成一个角度）是β，它是α的补充：

β=180º-α=180º-63.44º=116.56º

参考文献

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