离散傅立叶变换：属性，应用程序，示例 - 数学 - 2025

的离散傅里叶变换是用于定义参照，使一个信号的频谱频率采样的数值方法。它研究封闭参数中的周期函数，从而产生另一个离散信号。

为了获得N点的离散傅里叶变换，在离散信号上，必须在序列x上满足以下2个条件

TDF

离散傅里叶变换可以定义为傅里叶变换的N点采样。

离散傅里叶变换的解释

资料来源：Pexels

有两种观点，可以通过离散傅里叶变换来解释在序列x _s上获得的结果。

-第一个对应于傅立叶级数已知的频谱系数。在离散的周期性信号中观察到它，样本与序列x _s一致。

-第二个处理离散的非周期性信号的频谱，样本对应于序列x _s。

离散变换是原始模拟信号频谱的近似值。它的相位取决于采样时刻，而其幅度取决于采样间隔。

物产

结构的代数基础构成了以下各节的基本原理。

线性度

C。S _n →C F; 如果序列乘以标量，则其变换也将是。

T _n + V _n = F + F; 和的变换等于变换的和。

二元性

F→（1 / N）S _-k; 如果将离散傅立叶变换重新计算为已经变换的表达式，则将获得相同的表达式，将其缩放为N并相对于垂直轴反转。

卷积

为了实现与Laplace变换类似的目标，函数的卷积是指它们的Fourier变换之间的乘积。卷积也适用于离散时间，并负责许多现代过程。

X _n * R _n →F.F; 卷积的变换等于变换的乘积。

X _ñ。R _n →F * F; 乘积的变换等于变换的卷积。

移位

X _n-m →F e ^{–i（2π/ N）km}；如果序列延迟了m个样本，则其对离散变换的影响将是对（2π/ N）km定义的角度的修改。

对称

X _t = X * _t = X _t

调制

w ^ ^〜NM _ñ。X↔X _吨

产品

xy↔（1 / N）X _t * Y _t

对称

X↔X _t = X * _t

共轭

x *↔X * _t

Parseval方程

关于传统的傅立叶变换，它具有几个相似点和不同点。傅立叶变换将序列转换为实线。这样，可以说傅立叶变量的结果是实变量的复杂函数。

不像离散傅立叶变换，它接收离散信号并将其变换为另一个离散信号，即一个序列。

离散傅里叶变换有什么作用？

它们主要用于大大简化方程式，同时将派生的表达式转换为幂元素。用可积多项式形式表示微分表达式。

在结果的优化，调制和建模中，它充当标准化的表示形式，几代后成为工程设计的常用资源。

资料来源：

历史

这个数学概念是由约瑟夫·B·傅里叶（Joseph B. Fourier）在1811年提出的，当时他发展了关于热传播的论文。它很快被科学和工程的各个分支所采用。

它被确立为研究偏微分方程组的主要工作工具，甚至与拉普拉斯变换和常微分方程之间的已有工作关系进行了比较。

可以进行傅立叶变换的每个函数都必须在定义的参数之外提供null。

离散傅立叶变换及其逆

离散变换通过以下表达式获得：

给定离散序列X之后

离散傅立叶变换的逆是通过以下表达式定义的：

反向取力器

一旦实现离散变换，就可以在时域X中定义序列。

有翼的

与离散傅立叶变换相对应的参数化过程在于加窗。要进行转换，我们必须限制时间顺序。在许多情况下，所讨论的信号没有这些限制。

可以将不符合要应用于离散变换的大小标准的序列乘以“窗口”函数V，以在受控参数中定义序列的行为。

X。V

光谱的宽度将取决于窗口的宽度。随着窗口宽度的增加，计算出的变换将变窄。

应用领域

基本解决方案的计算

离散傅里叶变换是研究离散序列的有力工具。

离散傅里叶变换将连续变量函数转换为离散变量变换。

热方程的Cauchy问题提出了离散傅里叶变换的一个应用领域。产生热量的核心函数或Dirichlet核心的地方，这适用于已定义参数中的采样值。

信号论

在该分支中应用离散傅里叶变换的一般原因主要是由于信号的特性分解，即易处理信号的无限叠加。

它可以是声波或电磁波，离散傅里叶变换以简单波的叠加形式表示。这种表示在电气工程中非常常见。

傅立叶级数

它们是按余弦和正弦定义的系列。它们用于促进具有常规周期性功能的工作。当应用时，它们是求解常微分方程和偏微分方程的技术的一部分。

傅立叶级数甚至比泰勒级数更通用，因为它们会产生不具有泰勒级数表示形式的周期性不连续函数。

傅立叶级数的其他形式

为了从分析上理解傅立叶变换，重要的是要回顾找到傅立叶级数的其他方式，直到我们可以用复杂的符号定义傅立叶级数为止。

-关于周期2L的傅立叶级数：

考虑间隔，当利用函数的对称特性时，它具有优势。

如果f为偶数，则将傅立叶级数建立为一系列余弦。

如果f为奇数，则将傅立叶级数建立为一系列正弦。

-傅立叶级数的复数符号

如果我们有一个函数f（t）满足傅立叶级数的所有要求，则可以使用其复数表示法在区间中表示它：

例子

关于基本解的计算，给出以下示例：

另一方面，以下是离散傅立叶变换在信号理论领域中的应用示例：

-系统识别问题。建立了f和g

-输出信号一致性问题

-信号过滤问题

练习题

练习1

计算以下序列的离散傅里叶变换。

您可以将x的PTO定义为：

X _t = {4，-j2，0，j2}，其中k = 0、1、2、3

练习2

我们想通过数字算法确定由表达式x（t）= e ^-t定义的光谱信号。其中最大频率请求系数为f _m = 1Hz。谐波对应于f = 0.3 Hz，误差限制为小于5％。计算f _s，D和N。

考虑采样定理f _s = 2f _m = 2 Hz

选择f ₀ = 0.1 Hz的频率分辨率，由此得出D = 1 / 0.1 = 10s

0.3 Hz是对应于索引k = 3的频率，其中N = 3×8 = 24个样本。表示f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

由于目的是使N的值尽可能低，因此可以考虑使用以下值作为解决方案：

f ₀ = 0.3赫兹

D = 1 / 0.3 = 3.33秒

k = 1

N = 1×8 = 8

参考文献

1. 在一维，二维或多个维度上掌握离散傅立叶变换：陷阱和伪像。艾萨克·阿米德（Isaac Amidror）。Springer科学与商业媒体，7月19日。2013年
2. DFT：离散傅里叶变换的用户手册。威廉·布里格斯（William L. Briggs），范·埃姆登·汉森（Van Emden Henson）。SIAM，1月1日。十九九十五
3. 数字信号处理：理论与实践。D.Sundararajan。世界科学，2003
4. 用于信号分析和表示的变换和快速算法。国安毕，曾永红。施普林格科学与商业媒体，12月6日。2012年
5. 离散和连续傅立叶变换：分析，应用和快速算法。朱lean琳 CRC出版社，3月19日。2008年