傅立叶变换：属性，应用程序，示例 - 数学 - 2025

所述傅立叶变换是定向成属于家族积分变换的积函数的分析方法是否足够。它由以Cos（t）和Sen（t）表示的函数f（t）重新定义组成。

这些函数的三角恒等式以及它们的推导和反推导特性，通过以下复杂函数来定义傅立叶变换：

只要表达式有意义，即当不适当的积分收敛时，这是正确的。从代数上讲，傅里叶变换被认为是线性同胚。

可以进行傅立叶变换的每个函数都必须在定义的参数之外提供null。

物产

资料来源：皮克斯

傅立叶变换具有以下特性：

存在

为了验证在实数R中定义的函数f（t）中是否存在傅立叶变换，必须满足以下2个公理：

1. f（t）对于所有R都是分段连续的
2. f（t）可积在R中

傅立叶变换线性

令M（t）和N（t）是带有确定常数a和b的具有确定傅立叶变换的任何两个函数。

F（z）= a F（z）+ b F（z）

同名积分的线性也支持这一点。

导数的傅立叶变换

在所有实数中都有一个连续且可积分的函数f，其中：

f（f'）的导数在R中是连续的且分段定义的

导数的傅里叶变换由部分积分定义，其表达式如下：

F（z）= iz F（z）

在更高阶的推导中，它将以同源方式应用，其中对于所有n 1我们都具有：

F（z）=（iz）ⁿ F（z）

傅立叶变换微分

在所有实数中都有一个连续且可积分的函数f，其中：

翻译的傅立叶变换

对于属于集合S的每个θ和属于集合S'的T，我们有：

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

随着τ _一个工作作为载体中的平移操作。

傅立叶变换的翻译

对于属于集合S的每个θ和属于集合S'的T，我们有：

τ _一个 ˚F = ˚F τ _一个 F = ˚F

对于所有的属于[R

比例组的傅立叶变换

对于所有的θ属于一组S. Ť属于集合S'

属于R-{0}的λ有：

F =（1 / /-λ-）F（ y / λ ）

F =（1 / /-λ-）F（y /λ ）

如果f是连续且显然可积的函数，则a>0。然后：

F（z）= （1 / a）F（z / a）

为了证明这一结果，我们可以继续更改变量。

当T→+时s = at→+∞

当T→-时s = at--∞

对称

为了研究傅立叶变换的对称性，必须验证Parseval和Plancherel公式的身份。

我们有属于S的 θ和δ 。从那里可以得出：

得到

1 /（2π）^d { F，F } Parseval身份

1 /（2π）^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel公式

卷积积的傅立叶变换

为了实现与Laplace变换类似的目标，函数的卷积是指它们的Fourier变换之间的乘积。

我们有f和g作为2个有界，定义和完全可积分的函数：

F（f * g）= F（f）。F（克）

F（f）。F（g）= F（f.G）

连续性并陷入无限

傅里叶变换是做什么用的？

它主要用于显着简化方程式，同时将派生的表达式转换为幂元素，以可积多项式的形式表示微分表达式。

在结果的优化，调制和建模中，它充当标准化的表示形式，几代后成为工程设计的常用资源。

傅立叶级数

它们是按余弦和正弦定义的系列；它们用于促进具有常规定期功能的工作。当应用时，它们是求解常微分方程和偏微分方程的技术的一部分。

傅立叶级数甚至比泰勒级数更通用，因为它们会产生不具有泰勒级数表示形式的周期性不连续函数。

傅立叶级数的其他形式

为了从分析上理解傅立叶变换，重要的是要回顾找到傅立叶级数的其他方式，直到我们可以用复杂的符号定义傅立叶级数为止。

-关于周期2L的傅立叶级数

很多时候，必须使傅立叶级数的结构适应周期函数，该周期的周期在间隔中为p = 2L> 0。

-傅立叶级数的奇数和偶数函数

考虑间隔，当利用函数的对称特性时，它具有优势。

如果f为偶数，则将傅立叶级数建立为一系列余弦。

如果f为奇数，则将傅立叶级数建立为一系列正弦。

-傅立叶级数的复数符号

如果我们有一个函数f（t）满足傅立叶级数的所有可开发性要求，则可以使用其复数表示法在区间中表示它：

应用领域

资料来源：皮克斯

基本解决方案的计算

傅里叶变换是研究线性系数为常数的偏微分方程的有力工具。它们平等地申请具有无限域的功能。

像拉普拉斯（Laplace）变换一样，傅立叶变换将偏导数函数转换为一个更易于操作的常微分方程。

热方程的柯西问题提出了傅立叶变换的频繁应用领域，其中产生了热核或狄利克雷核函数。

关于基本解的计算，在以下情况下，通常会找到傅立叶变换：

信号论

在该分支中应用傅里叶变换的一般原因很大程度上是由于信号的特性分解，即易处理信号的无限叠加。

它可以是声波或电磁波，傅立叶变换以简单波的叠加形式表示。这种表示在电气工程中非常常见。

另一方面，是傅立叶变换在信号理论领域中的应用示例：

例子

例子1

为以下表达式定义傅立叶变换：

我们还可以通过以下方式表示它：

F（t）= Sen（t）

矩形脉冲定义为：

p（t）= H _{（t + k）} -H _（t-k）

将傅里叶变换应用于类似于调制定理的以下表达式。

f（t）= p（t）Sen（t）

其中：F = （1/2）i

傅立叶变换的定义为：

F = （1/2）我

例子2

为表达式定义傅里叶变换：

由于f（h）是偶函数，因此可以说

通过按以下方式选择变量及其微分来应用零件积分

u =罪（zh）du = z cos（zh）dh

DV = H（E ^-H）² V =（E ^-H）² /2

替换你有

根据微积分的基本定理求值后

应用关于一阶微分方程的先验知识，该表达式表示为

为了获得K我们评估

最后，表达式的傅立叶变换定义为

建议的练习

• 

• 

• 获取表达式W /（1 + w ²）的变换

参考文献

1. Duoandikoetxea Zuazo，J.，傅里叶分析。马德里自治大学，Addison – Wesley Iberoamericana，1995年。
2. Lions，JL，《科学技术的数学分析和数值方法》。施普林格–出版社，1990年。
3. Lieb，EH，高斯核只有高斯最大化器。发明。数学。102，179-208，1990。
4. Dym，H.，McKean，HP，傅立叶级数和积分。学术出版社，纽约，1972年。
5. Schwartz，L.，Théoriedes Distributions。埃德·赫尔曼（Ed.Hermann），巴黎，1966年。