镶嵌：特征，类型（规则，不规则），示例 - 数学

的拼接是涂覆的表面的一个或多个附图中称为镶嵌物。它们无处不在：各种街道和建筑物中。瓷砖是平整的块，通常是具有等距或等距副本的多边形，并按照规则的图案放置。这样，就不会留下任何空间，并且瓷砖或马赛克不会重叠。

在使用由规则多边形形成的单一类型镶嵌的情况下，存在规则镶嵌，但是如果使用两种或多种类型的规则多边形，则为半规则镶嵌。

图1.具有不规则镶嵌的瓷砖地板，因为矩形是非规则多边形，即使正方形也是如此。资料来源：

最终，当细分形成的多边形不规则时，则为不规则细分。

镶嵌的最常见类型是由矩形（尤其是方形）镶嵌形成的镶嵌。在图1中，我们有一个很好的例子。

镶嵌历史

镶嵌已经使用了数千年，覆盖了不同文化和宗教的宫殿和寺庙的地板和墙壁。

例如，在幼发拉底河和底格里斯河之间的美索不达米亚以南的大约公元前3500年繁荣的苏美尔文明在其建筑中使用了镶嵌图案。

图2. Istar门口的苏美尔镶嵌。资料来源：维基共享资源。

镶嵌效果也引起了各个年龄段的数学家的兴趣：从公元前3世纪的阿基米德开始，其后是1619年的约翰内斯·开普勒，1880年的卡米尔·乔丹，以及后来的罗杰·彭罗斯。

彭罗斯（Penrose）创建了一个非周期性的镶嵌，称为彭罗斯（Penrose）镶嵌。这些只是为镶嵌细分化做出巨大贡献的科学家的几个名字。

常规镶嵌

仅使用一种类型的规则多边形制作规则镶嵌。另一方面，要使棋盘格规则化，平面的每个点都必须：

-属于多边形内部

-或到两个相邻多边形的边缘

-最后，它可以属于至少三个多边形的共同顶点。

通过上述限制，可以证明只有等边三角形，正方形和六边形可以形成规则的棋盘形。

命名法

有一种表示镶嵌的术语，它是按顺时针方向列出并由一个点隔开，该点包围镶嵌的每个节点（或顶点）的多边形的边数，始终以最低的多边形开始双方。

此术语适用于规则和半规则镶嵌。

示例1：三角镶嵌

图3显示了规则的三角形镶嵌。应该注意的是，三角形棋盘形的每个节点都是六个等边三角形的共同顶点。

表示此类镶嵌的方式为3.3.3.3.3.3，也由3 ⁶表示。

图3.规则的三角形镶嵌3.3.3.3.3.3。资料来源：Wikimedia Commons

示例2：方形镶嵌

图4显示了仅由正方形组成的规则镶嵌。应当注意的是，细分中的每个节点都被四个相等的正方形所包围。应用于这种正方形镶嵌的符号为：4.4.4.4或4 ⁴

图4.方格细分4.4.4.4。资料来源：维基共享资源。

示例3：六边形镶嵌

如图6所示，在六边形细分中，每个节点都被三个规则的六边形包围。规则的六边形细分的命名法是6.6.6或6 ³。

图5.六边形镶嵌6.6.6。资料来源：维基共享资源。

半规则镶嵌

半正则或阿基米德镶嵌由两种或多种正则多边形组成。每个节点都被构成镶嵌的多边形类型围绕着，始终保持相同的顺序，并且边缘条件与邻居完全共享。

有八个半规则的镶嵌图：

3.6.3.6（三边六边形镶嵌）
3.3.3.3.6（钝性六边形棋盘格）
3.3.3.4.4（细长的三角形镶嵌）
3.3.4.3.4（钝方形镶嵌）
3.4.6.4（菱形三六边形镶嵌）
4.8.8（截断的方形镶嵌）
3.12.12（截断的六角形棋盘格形）
4.6.12（截断的三六边形细分）

下面显示了半规则镶嵌的一些示例。

示例4：三边六边形镶嵌

它是由3.6.3.6结构中的等边三角形和正六边形组成的一个，这意味着细分的节点被三角形，六边形，三角形和六边形包围（直到完成一圈）。图6显示了这种细分。

图6.三六边形细分（3.6.3.6）是半规则细分的一个示例。资料来源：维基共享资源。

示例5：钝的六边形镶嵌

像前面的示例中的细分一样，该细分也由三角形和六边形组成，但它们在节点周围的分布为3.3.3.3.6。图7清楚地说明了这种细分。

图7.钝的六边形棋盘格由在3.3.3.3.6配置中被16个三角形包围的六边形组成。资料来源：维基共享资源。

示例6：菱形三六边形镶嵌

它是由三角形，正方形和六边形组成的镶嵌，配置为3.4.6.4，如图8所示。

图8.在3.4.6.4配置中，由三角形，正方形和六边形组成的半规则镶嵌。资料来源：维基共享资源。

不规则镶嵌

不规则镶嵌是由不规则多边形或由规则多边形形成的，但不满足以下条件：节点是至少三个多边形的顶点。

例子7

图9显示了不规则镶嵌的示例，其中所有多边形都是规则且全等的。这是不规则的，因为节点不是至少三个正方形的公共顶点，并且还有不完全共享边的相邻正方形。

图9.即使所有图块都是全等的正方形，这也是不规则镶嵌的明显例子。资料来源：F. Zapata。

例子八

平行四边形平铺一个平面，但是除非它是正方形，否则不能形成规则的镶嵌。

图10.由平行四边形形成的镶嵌是不规则的，因为它的镶嵌是不规则的多边形。资料来源：F. Zapata。

例子9

具有中心对称性的不规则六边形可细分平面，如下图所示：

图11.具有中心对称性的六边形，即使它们不是规则的棋盘格，也会将其细分。资料来源：F. Zapata。

示例10：开罗的镶嵌

这是一个非常有趣的细分，由边长相等但角度不相等的五边形组成，其中两个是笔直的，另外三个是120º。

它的名字来源于这样的事实，即在埃及开罗的一些街道的人行道上发现了这种镶嵌图案。图12显示了开罗的细分。

图12.开罗镶嵌。资料来源：维基共享资源。

示例11：Al-Andalus镶嵌

除了装饰性元素（例如植被）外，安达卢西亚和北非某些地区的镶嵌还具有几何形状和墓志特征。

宫殿的镶嵌，例如阿罕布拉宫的镶嵌，是由瓷砖制成的，瓷砖由多种颜色的陶瓷块组成，具有多种（如果不是无限的）形状，并以几何图案散发出来。

图13.阿罕布拉宫的镶嵌。塔塔利亚/公共领域

示例12：视频游戏中的镶嵌

也称为镶嵌，它是视频游戏中最受欢迎的新奇事物之一。它是关于创建纹理来模拟出现在模拟器中的不同场景的细分。

这清楚地反映了这些涂料不断发展，跨越了现实的边界。

参考文献

享受数学。镶嵌。从以下资源中恢复：enjoymatematicas.com
鲁比尼奥斯。镶嵌解决了示例。从以下位置恢复：matematicasn.blogspot.com
Weisstein，Eric W.“半规则镶嵌”。Weisstein，Eric W，编辑。MathWorld。Wolfram研究。
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