算术的基本定理指出，任何大于1的自然数都可以分解为质数的乘积-有些自然数可以重复-这种形式对于该数是唯一的，尽管因素的顺序可能不同。
回想一下质数p是一个只允许自己接受的质数，而1是正除数，以下数是质数：2，3、5、7、11、13等，因为存在无限性。数字1不被视为素数，因为它只有一个除数。
图1. Euclid（左）在他的《 Elements》（公元前350年）一书中证明了算术的基本定理，第一个完整的证明归功于Carl F. Gauss（1777-1855年）（右）。资料来源：维基共享资源。
就其本身而言，不符合上述要求的数字称为复合数字，例如4、6、8、9、10、12、14…让我们以数字10为例，我们立即看到它可以分解为2和5：
10 = 2×5
实际上，2和5都是素数。定理指出，这对于任何数量的n都是可能的：
其中p 1，p 2，p 3 …p r是质数，k 1，k 2，k 3，…k r是自然数。因此，质数充当构建块，通过乘法从中构建自然数。
算术基本定理的证明
我们首先显示每个数字都可以分解为主要因子。令其为自然数n> 1，素数或复合数。
例如，如果n = 2，则可以表示为：2 = 1×2，这是素数。同样，请使用以下数字：
3 = 1×3
4 = 2×2
5 = 1×5
6 = 2×3
7 = 1×7
8 = 2×2×2
我们继续这样，分解所有自然数，直到达到数n -1。让我们看看是否可以使用以下数字进行操作：n。
如果n是素数，我们可以将其分解为n = 1×n，但是假设n是合成的并且除数d在逻辑上小于n：
1 <d <n。
如果n / d = p 1，其中p 1是质数，则n表示为：
n = p 1.d
如果d是黄金没有什么更多的事情要做，但如果不是，有一个数n 2是d的约数和小于这个：N 2 <d，因此d可以写成的产物N 2的另一质数p 2：
d = p 2 n 2
用原来的数字n代替：
N = P 1 ·P 2.N 2
现在假设n 2也不是质数，我们将其写为质数p 3乘以其除数n 3的乘积，使得n 3 <n 2 <n 1 <n：
Ñ 2 = P 3.N 3 →N = P 1 p 2 p 3.N 3
我们重复此过程有限次，直到获得：
N = P 1 ·P 2.P 3。。。P - [R
这意味着可以将所有整数从2分解为数字n，这是质数的乘积。
素数分解的唯一性
现在让我们验证除因子顺序以外，这种分解是唯一的。假设可以用两种方式编写n：
N = P 1 ·P 2.P 3。。。P - [R = Q 1 q 2.Q 3…..q 小号（其中r≤S）
当然q 1，q 2，q 3…也是素数。由于p 1除以（q 1. q 2.q 3 …..q s），所以p 1等于“ q”中的任何 一个，所以哪个都不重要，因此我们可以说p 1 = q 1。我们将n除以p 1得到：
p 2.P 3。。。P - [R = 。q 2.q 3 …..q s
我们重复该过程，直到将所有内容除以p r，然后得出：
1 = q r + 1 …q s
但是，当r <s时，仅当r = s时，不可能得出q r + 1 …q s = 1。尽管通过承认r = s，也承认“ p”和“ q”相同。因此，分解是唯一的。
应用领域
正如我们之前所说，素数代表（如果您愿意）数字的原子，它们的基本组成部分。因此，算术的基本定理有许多应用，最明显的应用是：如果将大数表示为小数的乘积，我们可以更轻松地处理大数。
同样，我们可以找到最大公倍数（LCM）和最大公除数（GCF），此过程可帮助我们更轻松地进行分数加法，找到大数的根或使用部首进行运算，合理化和求解性质非常多样的应用程序问题。
此外，质数极具神秘性。它们中尚未识别出一种模式，因此无法知道下一个模式。迄今为止，最大的数字是由计算机发现的，并且具有24,862,048位数字，尽管新的质数每次出现的频率都不高。
自然质数
居住在美国东北部的蝉，蝉或蝉以13年或17年的周期出现。它们都是素数。
这样，蝉避免与具有其他出生时期的捕食者或竞争者重合，蝉的不同品种也不会互相竞争，因为它们在同一年不会重合。
图2.美国东部的Magicicada蝉每13至17年出现一次。资料来源：Pxfuel。
素数和网上购物
在互联网上进行购买时，密码学中使用质数来使信用卡详细信息保密。这样，购买者准确到达商店的数据就不会丢失或落入不法分子的手中。
怎么样？卡上的数据以数字N编码，可以表示为质数的乘积。这些素数是数据揭示的关键，但公众不知道，只能在它们指向的网络上对其进行解码。
如果数字很小（将数字分解为因子）是一件容易的事（请参阅已解决的练习），但是在这种情况下，将100个数字的质数用作键，当将它们相乘得到更大的数字时，详细分解会涉及巨大的任务。
解决的练习
-练习1
将1029分解为主要因素。
解
1029被3整除。这是众所周知的，因为当将其数字相加时，其和是3的倍数：1 + 0 + 2 + 9 =12。由于因子的顺序不会改变乘积，因此我们可以从这里开始：
1029 3
343
1029 = 3×343
另一方面，343 = 7 3，则：
1029 = 3×7 3 = 3×7×7×7
而且由于3和7都是素数，所以这是1029的分解。
-练习2
分解三项式x 2 + 42x + 432。
解
三项式以（x + a）的形式重写。（x + b），我们需要找到a和b的值，使得：
a + b = 42; ab = 432
将数字432分解为主要因子，并从中通过反复试验选择适当的组合，以便增加的因子为42。
432 = 2 4 ×3 3 = 2×3 3 ×2 3 = 2 4 ×3 2 ×3 =…
从这里可以编写432：
432 = 16×27 = 24×18 = 54×8 = 6×72…。
所有这些都可以通过将主要因子之间的乘积组合来找到，但是要解决所提议的练习，唯一合适的组合是：432 = 24×18，因为24 + 18 = 42，则：
x 2 + 42x + 432 =（x + 24）。（x +18）
参考文献
- Baldor，A.1986。理论实用算术。西班牙文化交流公司
- 英国广播公司的世界。隐藏的自然法典。从bbc.com中恢复。
- 曼努埃尔·德·莱昂（De Leon），素数：互联网的守护者。从以下网站恢复：blogs.20minutos.es。
- 联阿特派团。数论I：算术基本定理。从以下位置恢复：teoriadenumeros.wikidot.com。
- 维基百科。算术的基本定理。摘自：es.wikipedia.org。