算术的基本定理指出,任何大于1的自然数都可以分解为质数的乘积-有些自然数可以重复-这种形式对于该数是唯一的,尽管因素的顺序可能不同。
回想一下质数p是一个只允许自己接受的质数,而1是正除数,以下数是质数:2,3、5、7、11、13等,因为存在无限性。数字1不被视为素数,因为它只有一个除数。

图1. Euclid(左)在他的《 Elements》(公元前350年)一书中证明了算术的基本定理,第一个完整的证明归功于Carl F. Gauss(1777-1855年)(右)。资料来源:维基共享资源。
就其本身而言,不符合上述要求的数字称为复合数字,例如4、6、8、9、10、12、14…让我们以数字10为例,我们立即看到它可以分解为2和5:
10 = 2×5
实际上,2和5都是素数。定理指出,这对于任何数量的n都是可能的:
其中p 1,p 2,p 3 …p r是质数,k 1,k 2,k 3,…k r是自然数。因此,质数充当构建块,通过乘法从中构建自然数。
算术基本定理的证明
我们首先显示每个数字都可以分解为主要因子。令其为自然数n> 1,素数或复合数。
例如,如果n = 2,则可以表示为:2 = 1×2,这是素数。同样,请使用以下数字:
3 = 1×3
4 = 2×2
5 = 1×5
6 = 2×3
7 = 1×7
8 = 2×2×2
我们继续这样,分解所有自然数,直到达到数n -1。让我们看看是否可以使用以下数字进行操作:n。
如果n是素数,我们可以将其分解为n = 1×n,但是假设n是合成的并且除数d在逻辑上小于n:
1 <d <n。
如果n / d = p 1,其中p 1是质数,则n表示为:
n = p 1.d
如果d是黄金没有什么更多的事情要做,但如果不是,有一个数n 2是d的约数和小于这个:N 2 <d,因此d可以写成的产物N 2的另一质数p 2:
d = p 2 n 2
用原来的数字n代替:
N = P 1 ·P 2.N 2
现在假设n 2也不是质数,我们将其写为质数p 3乘以其除数n 3的乘积,使得n 3 <n 2 <n 1 <n:
Ñ 2 = P 3.N 3 →N = P 1 p 2 p 3.N 3
我们重复此过程有限次,直到获得:
N = P 1 ·P 2.P 3。。。P - [R
这意味着可以将所有整数从2分解为数字n,这是质数的乘积。
素数分解的唯一性
现在让我们验证除因子顺序以外,这种分解是唯一的。假设可以用两种方式编写n:
N = P 1 ·P 2.P 3。。。P - [R = Q 1 q 2.Q 3…..q 小号(其中r≤S)
当然q 1,q 2,q 3…也是素数。由于p 1除以(q 1. q 2.q 3 …..q s),所以p 1等于“ q”中的任何 一个,所以哪个都不重要,因此我们可以说p 1 = q 1。我们将n除以p 1得到:
p 2.P 3。。。P - [R = 。q 2.q 3 …..q s
我们重复该过程,直到将所有内容除以p r,然后得出:
1 = q r + 1 …q s
但是,当r <s时,仅当r = s时,不可能得出q r + 1 …q s = 1。尽管通过承认r = s,也承认“ p”和“ q”相同。因此,分解是唯一的。
应用领域
正如我们之前所说,素数代表(如果您愿意)数字的原子,它们的基本组成部分。因此,算术的基本定理有许多应用,最明显的应用是:如果将大数表示为小数的乘积,我们可以更轻松地处理大数。
同样,我们可以找到最大公倍数(LCM)和最大公除数(GCF),此过程可帮助我们更轻松地进行分数加法,找到大数的根或使用部首进行运算,合理化和求解性质非常多样的应用程序问题。
此外,质数极具神秘性。它们中尚未识别出一种模式,因此无法知道下一个模式。迄今为止,最大的数字是由计算机发现的,并且具有24,862,048位数字,尽管新的质数每次出现的频率都不高。
自然质数
居住在美国东北部的蝉,蝉或蝉以13年或17年的周期出现。它们都是素数。
这样,蝉避免与具有其他出生时期的捕食者或竞争者重合,蝉的不同品种也不会互相竞争,因为它们在同一年不会重合。

图2.美国东部的Magicicada蝉每13至17年出现一次。资料来源:Pxfuel。
素数和网上购物
在互联网上进行购买时,密码学中使用质数来使信用卡详细信息保密。这样,购买者准确到达商店的数据就不会丢失或落入不法分子的手中。
怎么样?卡上的数据以数字N编码,可以表示为质数的乘积。这些素数是数据揭示的关键,但公众不知道,只能在它们指向的网络上对其进行解码。
如果数字很小(将数字分解为因子)是一件容易的事(请参阅已解决的练习),但是在这种情况下,将100个数字的质数用作键,当将它们相乘得到更大的数字时,详细分解会涉及巨大的任务。
解决的练习
-练习1
将1029分解为主要因素。
解
1029被3整除。这是众所周知的,因为当将其数字相加时,其和是3的倍数:1 + 0 + 2 + 9 =12。由于因子的顺序不会改变乘积,因此我们可以从这里开始:
1029 3
343
1029 = 3×343
另一方面,343 = 7 3,则:
1029 = 3×7 3 = 3×7×7×7
而且由于3和7都是素数,所以这是1029的分解。
-练习2
分解三项式x 2 + 42x + 432。
解
三项式以(x + a)的形式重写。(x + b),我们需要找到a和b的值,使得:
a + b = 42; ab = 432
将数字432分解为主要因子,并从中通过反复试验选择适当的组合,以便增加的因子为42。

432 = 2 4 ×3 3 = 2×3 3 ×2 3 = 2 4 ×3 2 ×3 =…
从这里可以编写432:
432 = 16×27 = 24×18 = 54×8 = 6×72…。
所有这些都可以通过将主要因子之间的乘积组合来找到,但是要解决所提议的练习,唯一合适的组合是:432 = 24×18,因为24 + 18 = 42,则:
x 2 + 42x + 432 =(x + 24)。(x +18)
参考文献
- Baldor,A.1986。理论实用算术。西班牙文化交流公司
- 英国广播公司的世界。隐藏的自然法典。从bbc.com中恢复。
- 曼努埃尔·德·莱昂(De Leon),素数:互联网的守护者。从以下网站恢复:blogs.20minutos.es。
- 联阿特派团。数论I:算术基本定理。从以下位置恢复:teoriadenumeros.wikidot.com。
- 维基百科。算术的基本定理。摘自:es.wikipedia.org。
