二项式定理：证明和例子 - 数学 - 2025

所述二项式定理是一个方程告诉我们如何发展形式的表达式（A + B）^ñ对于某些自然数n。二项式不过是两个元素之和，例如（a + b）。对于一个由^k b ^n-k给出的项，它也使我们知道伴随它的系数是多少。

该定理通常归因于英国发明家，物理学家和数学家艾萨克·牛顿爵士；但是，已经发现各种记录，表明它的存在在中东大约1000年就已为人所知。

组合编号

二项式定理在数学上告诉我们以下内容：

在该表达式中，a和b是实数，n是自然数。

在进行演示之前，让我们看一些必要的基本概念。

k中n的组合数或组合表示如下：

这种形式表示可以从一组n个元素中选择多少个具有k个元素的子集的值。它的代数表达式为：

让我们看一个例子：假设我们有一组七个球，其中两个是红色的，其余的是蓝色的。

我们想知道有多少种方式可以连续排列它们。一种方法是将两个红色放置在第一和第二位置，其余球放置在其余位置。

与前面的情况类似，我们可以分别给红球第一个和最后一个位置，而其他两个则占据蓝色球。

现在，一种有效的方法是使用组合数字来计算我们可以连续排列多少个球。我们可以将每个位置视为以下集合的元素：

然后只需选择两个元素的子集，其中每个元素代表红球将占据的位置。我们可以根据以下给定的关系进行选择：

这样，我们就有21种订购这些球的方法。

这个例子的一般思想对于证明二项式定理非常有用。让我们看一个特殊的情况：如果n = 4，则有（a + b）⁴，无非是：

开发此乘积时，剩下的总和是通过将四个因子（a + b）中的每个因子相乘得到的。因此，我们将具有以下形式的术语：

如果我们想以⁴的形式获得该术语，则只需乘以如下：

请注意，只有一种方法可以获取此元素。但是，如果现在我们寻找a ² b ²形式的项，会发生什么？由于“ a”和“ b”是实数，因此适用可交换律，因此，获得该术语的一种方法是按箭头所示与成员相乘。

执行所有这些操作通常有点乏味，但是如果我们将术语“ a”视为一个组合，而我们想知道我们可以从四个因素中选择多少个来选择两个“ a”，那么可以使用上一个示例中的想法。因此，我们有以下内容：

因此，我们知道在表达式（a + b）⁴的最后扩展中，我们将恰好具有6a ² b ²。对其他元素使用相同的想法，您必须：

然后，我们添加先前获得的表达式，然后得到：

这是“ n”是任何自然数的一般情况的形式证明。

示范

请注意，通过扩展（a + b）ⁿ剩下的项的形式为a ^k b ^n-k，其中k = 0,1，…，n。使用前面示例的思想，我们可以选择«n»个因子中的«k»个变量«a»的方法是：

通过这样选择，我们将自动选择nk变量“ b”。由此得出：

例子

考虑（a + b）⁵，它的发展将是什么？

根据二项式定理，我们有：

如果我们有一个表达式，我们想知道特定项的系数是什么，而不必进行完全展开，则二项式定理非常有用。例如，我们可以得出以下未知数：（x + y）¹⁶的展开式中x ⁷和⁹的系数是多少？

根据二项式定理，我们的系数为：

另一个示例是：（3x-7y）¹³展开时x ⁵和⁸的系数是多少？

首先，我们以一种方便的方式重写表达式；这是：

然后，使用二项式定理，我们得到的系数是当我们有k = 5时

使用该定理的另一个例子是证明某些共同身份，例如我们接下来将要提到的那些。

身份1

如果«n»是自然数，则我们有：

为了证明这一点，我们使用了二项式定理，其中«a»和«b»都取值为1。

这样，我们证明了第一个身份。

身份2

如果“ n”是自然数，则

根据二项式定理，我们有：

另一个示范

我们可以使用归纳法和Pascal恒等式对二项式定理进行不同的证明，这可以告诉我们，如果«n»和«k»是满足n≥k的正整数，则：

感应证明

首先让我们看一下归纳基。如果n = 1，我们有：

实际上，我们看到它实现了。现在，让n = j使得：

我们希望看到，对于n = j + 1，确实是：

因此，我们必须：

通过假设我们知道：

然后，使用分配属性：

随后，开发每个汇总，我们有：

现在，如果我们以一种方便的方式进行分组，我们将拥有：

使用pascal的身份，我们有：

最后，请注意：

因此，我们看到二项式定理对属于自然数的所有“ n”成立，并且证明由此终止。

好奇心

组合数（nk）也称为二项式系数，因为它恰好出现在二项式（a + b）^{n的展开中}。

对于指数为实数的情况，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）对该定理进行了推广。该定理被称为牛顿二项式定理。

早在远古时代，这种结果就已经针对n = 2的特殊情况而为人所知。欧几里得的《元素》中提到了这种情况。

参考文献

1. 约翰逊·理查德（Johnsonbaugh Richard）。离散数学。肺动脉高压
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4. 拉尔夫·格里马尔迪（Ralph P. 离散与组合数学。艾迪生-韦斯利伊比利亚美洲
5. 绿星路易斯。。离散组合数学人类学