的棣美弗的定理应用于代数基本过程，如在复数功率和提取的根。该定理由著名的法国数学家亚伯拉罕·德·莫夫（Abraham de Moivre）（1730）提出，他将复数与三角函数相关联。
亚伯拉罕·莫伊夫（Abraham Moivre）通过正弦和余弦的表达实现了这种关联。该数学家生成了一种公式，通过该公式可以将复数z提高到幂n，它是大于或等于1的正整数。
莫夫定理是什么？
莫夫定理指出：
如果我们有在极坐标形式Z = R复数Ɵ，其中r是复数z的模块，并用0≤Ɵ≤2π，计算出其正角度Ɵ被称为任何复数的振幅或参数幂次，无需将其自身乘以n倍；即，不需要制造以下产品：
Z n＝ z * z * z *。。* Z = R Ɵ* - [R Ɵ* - [R Ɵ*。。* [R Ɵ n次。
相反，该定理说，以三角形式写z时，要计算n次幂，我们可以按以下步骤进行：
如果z = r（cosƟ+ i * sinƟ），则z n = r n（cos n *Ɵ+ i * sin n *Ɵ）。
例如，如果n = 2，则z 2 = r 2。如果n = 3，则z 3 = z 2 * z。也：
z 3 = r 2 * r = r 3。
这样，只要已知角度的三角比，就可以得到正弦和余弦的三角比。
以相同的方式，它可以用于为复数z的第n个根找到更精确且更不混淆的表达式，因此z n = 1。
为了证明Moivre定理，使用了数学归纳法原理：如果整数“ a”具有属性“ P”，并且对于任何大于“ a”的整数“ n”具有属性“ P”它满足n + 1还具有属性“ P”，然后所有大于或等于“ a”的整数都具有属性“ P”。
示范
因此，定理的证明是通过以下步骤完成的：
感应基
首先检查n = 1。
由于z 1 =（r（cosƟ+ i * sinƟ））1 = r 1（cosƟ+ i * sinƟ）1 = r 1，因此定理适用于n = 1。
归纳假设
对于某个正整数，即n = k，假定该公式为真。
z k =（r（cosƟ+ i * sinkƟ））k = r k（cos kƟ+ i * sinkƟ）。
验证
对于n = k + 1证明是正确的。
，由于Z k + 1 = Z ķ * Z，则z K + 1 =（R（COSƟ+ I *罪Ɵ））K + 1 = R ķ（COSkƟ+ I *罪kƟ）* R（COSƟ+我*森Ɵ）。
然后将表达式相乘：
z k + 1 = r k + 1（（coskƟ）*（cosƟ）+（coskƟ）*（i * sinƟ）+（i * sinkƟ）*（cosƟ）+（i * sinkƟ）*（i * senƟ））。
暂时忽略因子r k +1，并采用公因子i：
（coskƟ）*（cosƟ）+ i（coskƟ）*（sinƟ）+ i（sinkƟ）*（cosƟ）+ i 2（sinkƟ）*（sinƟ）。
由于i 2 = -1，因此将其替换为表达式，得到：
（coskƟ）*（cosƟ）+ i（coskƟ）*（sinƟ）+ i（sinkƟ）*（cosƟ）-（sinkƟ）*（sinƟ）。
现在，实部和虚部已排序：
（coskƟ）*（cosƟ）-（sinkƟ）*（sinƟ）+ i。
为了简化表达，将角度和的三角恒等式应用于余弦和正弦，它们是：
cos（A + B）= cos A * cos B-sin A * sin B.
sin（A + B）= sin A * cos B-cos A * cos B.
在这种情况下，变量是角度Ɵ和kƟ。应用三角恒等式，我们有：
coskƟ * cosƟ- sinkƟ * sinƟ= cos（kƟ+Ɵ）
sinkƟ * cosƟ+ coskƟ * sinƟ= sin（kƟ+Ɵ）
这样，表达式为：
z k + 1 = r k + 1（cos（kƟ+Ɵ）+ i * sin（kƟ+Ɵ））
z k + 1 = r k + 1（cos + i * sin）。
因此可以证明，对于n = k + 1，结果是正确的。根据数学归纳原理，可以得出结论：所有正整数的结果都是正确的；即n≥1。
负整数
当n≤0时，也应用Moivre定理。让我们考虑一个负整数«n»; 那么“ n”可以写为“ -m”，即n = -m，其中“ m”是一个正整数。从而：
（cosƟ+ i * sinƟ）n =（cosƟ+ i * sinƟ）-m
为了以正数方式获得指数“ m”，可将表达式反写：
（cosƟ+ i * sinƟ）n = 1÷（cosƟ+ i * sinƟ）m
（COSƟ+ I *罪Ɵ）ñ = 1÷（COSmƟ+ I *罪mƟ）
现在，如果z = a + b * i是复数，则使用1÷z = ab * i。从而：
（COSƟ+ I *罪Ɵ）ñ = COS（mƟ） - I * SIN（mƟ）。
使用cos（x）= cos（-x）和-sen（x）= sin（-x），我们有：
（cosƟ+ i * sinƟ）n =
（COSƟ+ I *罪Ɵ）ñ = COS（ - mƟ）+ I * SIN（-mƟ）
（COSƟ+ I *罪Ɵ）ñ = COS（nƟ） - I * SIN（nƟ）。
因此，可以说该定理适用于所有``n''的整数值。
解决的练习
正功率的计算
极数形式为复数的运算之一就是其中两个的乘积；在这种情况下，将模块相乘并添加参数。
如果您有两个复数z 1和 z 2并要计算（z 1 * z 2）2，则可以按以下步骤进行：
z 1 z 2 = *
分配属性适用：
ž 1 ž 2 = R 1 - [R 2（COSƟ 1 * COSƟ 2 + I * COSƟ 1 *我*罪Ɵ 2 + I *罪Ɵ 1 * COSƟ 2 + I 2 *罪Ɵ 1 *罪Ɵ 2）。
将它们分组，将术语“ i”作为表达式的共同因素：
z 1 z 2 = r 1 r 2
由于i 2 = -1，因此将其替换为表达式：
z 1 z 2 = r 1 r 2
实数项用实数和虚数用虚数重组：
z 1 z 2 = r 1 r 2
最后，三角属性适用：
z 1 z 2 = r 1 r 2。
结论：
（z 1 * z 2）2 =（r 1 r 2）2
= r 1 2 r 2 2。
练习1
如果z =-2 -2i，则以极性形式写复数。然后，使用Moivre定理，计算z 4。
解
复数z = -2 -2i以矩形形式z = a + bi表示，其中：
a = -2。
b = -2。
知道极坐标形式为z = r（cosƟ+ i * sinƟ），我们需要确定模量“ r”的值和自变量“Ɵ”的值。由于r =√（a²+b²），因此将给定值替换为：
r =√（a²+b²）=√（（-2）²+（-2）²）
=√（4 + 4）
=√（8）
=√（4 * 2）
=2√2。
然后，为了确定«Ɵ»的值，将其矩形应用，由公式给出：
棕褐色= b÷a
棕褐色=（-2）÷（-2）= 1。
由于tan（Ɵ）= 1并且我们有<0，所以我们有：
Ɵ=反正切（1）+Π。
=Π/ 4 +Π
=5Π/ 4。
由于已经获得«r»和«Ɵ»的值，因此可以通过代入以下值以复数形式表示复数z = -2 -2i：
z =2√2（cos（5Π/ 4）+ i * sin（5Π/ 4））。
现在我们使用Moivre定理计算z 4：
z 4 =2√2（cos（5Π/ 4）+ i * sin（5Π/ 4））4
= 32（cos（5Π）+ i * sin（5Π））。
练习2
通过以极性形式表示来找到复数的乘积：
z1 = 4（cos 50 o + i * sin 50 o）
z2 = 7（cos 100 o + i * sin 100 o）。
然后计算（z1 * z2）²。
解
首先形成给定数字的乘积：
z 1 z 2 = *
然后将模块彼此相乘，并添加参数：
z 1 z 2 =（4 * 7）*
表达式已简化：
z 1 z 2 = 28 *（cos 150 o +（i * sin 150 o）。
最后，Moivre定理适用：
（z1 * z2）²=（28 *（cos 150 o +（i * sin 150 o））²= 784（cos 300 o +（i * sin 300 o））。
负功率的计算
为了将两个复数z 1和 z 2的极性形式相除，除以模数并减去自变量。因此，商为z 1 ÷z 2并表示如下：
z 1 ÷z 2 = r1 / r2（）。
与前面的情况一样，如果我们要计算（z1÷z2）³，则首先进行除法，然后使用Moivre定理。
练习3
骰子：
z1 = 12（cos（3π/ 4）+ i * sin（3π/ 4）），
z2 = 4（cos（π/ 4）+ i * sin（π/ 4）），
计算（z1÷z2）³。
解
按照上述步骤可以得出以下结论：
（z1÷z2）³=（（12/4）（cos（3π/ 4-π/ 4）+ i * sin（3π/ 4-π/ 4）））³
=（3（cos（π/ 2）+ i * sin（π/ 2）））³
= 27（cos（3π/ 2）+ i * sin（3π/ 2））。
参考文献
- 亚瑟·古德曼（Arthur Goodman，LH）（1996）。具有解析几何的代数和三角学。培生教育。
- M. Croucher（nd）。来自Moivre的Trig恒等式定理。Wolfram示范项目。
- Hazewinkel，M。（2001）。数学百科全书。
- 马克斯·彼得斯（Max Peters，WL）（1972）。代数和三角学。
- 佩雷斯，CD（2010）。培生教育。
- 斯坦利（G.）。线性代数。格劳希尔。
- ，M。（1997）。预先计算。培生教育。