切比绍夫定理：它是什么，应用和例子 - 数学 - 2025

该定理切比雪夫（切比雪夫不等式或）是概率论中最重要的经典成果之一。通过为我们提供一个边界，该边界不依赖于随机变量的分布，而是依赖于X的方差，它可以估计根据随机变量X描述的事件的概率。

该定理是以俄国数学家Pafnuty Chebyshov（也写为Chebychev或Tchebycheff）的名字命名的，尽管他不是第一个提出定理的人，但在1867年第一个给出证明的人。

这种不等式或因其特征而被称为切比雪夫不等式的不等式，主要用于通过计算高度来近似概率。

它由什么组成？

在概率论的研究中，如果随机变量X的分布函数已知，则可以计算出其期望值-或数学期望E（X）-及其方差Var（X），只要这样的数量存在。但是，相反不一定是正确的。

也就是说，知道E（X）和Var（X）并不一定可以获得X的分布函数，因此，对于某些k> 0的量，例如P（-X-> k）很难获得。但是由于切比雪夫不等式，可以估计随机变量的概率。

切比雪夫定理告诉我们，如果我们在样本空间S上具有一个概率函数为p的随机变量X，并且如果k> 0，则：

应用与实例

在切比雪夫定理的许多应用中，可以提及以下内容：

限制概率

这是最常见的应用程序，用于给出P（-XE（X）-≥k）的上限，其中k> 0，仅具有随机变量X的方差和期望，而不知道概率函数。

例子1

假设公司一周内生产的产品数量是一个随机变量，平均为50。

如果已知一周生产的方差等于25，那么对于本周生产与均值之差超过10的可能性，我们能说什么呢？

解

应用切比雪夫不等式，我们有：

从中我们可以得出，在生产周中，物品数量超过平均数量超过10个的概率最大为1/4。

极限定理的证明

切比绍夫的不等式在证明最重要的极限定理中起着重要作用。例如，我们有以下内容：

弱数定律

此定律指出，给定的序列X1 X2，XN，的，…，…具有相同的平均分布E（十一）=μ和方差无功独立随机变量（X）=σ ²，和一个已知的平均样品：

那么对于k> 0，我们有：

或者，等效地：

示范

首先，请注意以下几点：

由于X1，X2，…，Xn是独立的，因此可以得出：

因此，可以声明以下内容：

然后，使用切比雪夫定理，我们得到：

最后，该定理由以下事实得出：当n接近无穷大时，右边的极限为零。

应该注意的是，该检验仅针对存在Xi方差的情况进行；也就是说，它不会发散。因此，我们观察到，如果E（Xi）存在，则该定理始终为真。

切比雪夫极限定理

如果X1，X2，…，Xn，…是一系列独立的随机变量，使得存在一些C <无穷大，使得所有自然n的Var（Xn）≤C，那么对于任何k> 0：

示范

由于方差序列是有界的，所以对于所有自然n，我们的Var（Sn）≤C / n。但是我们知道：

使n趋于无穷大，结果如下：

由于概率不能超过1的值，所以可以获得期望的结果。作为该定理的结果，我们可以提及伯努利的特殊情况。

如果一个实验独立重复n次，并有两个可能的结果（失败和成功），其中p是每个实验的成功概率，X是代表获得的成功次数的随机变量，则对于每个k> 0你必须：

样本量

就方差而言，Chebyshov不等式允许我们找到一个样本大小n，该大小足以确保-Sn-μ-> = k的出现概率与所需的一样小，这使我们可以近似到平均水平。

具体而言，让X1，X2，… XN是大小的独立随机变量的样本n和假设E（Xi）的=μ和方差σ ²。然后，根据切比绍夫的不等式，我们得到：

例

假设X1，X2，…，Xn是具有伯努利分布的独立随机变量的样本，因此它们的取值为1，概率p = 0.5。

样本的大小必须是多少才能确保算术平均值Sn和其期望值之差（大于0.1）小于或等于0.01？

解

我们有E（X）=μ= P = 0.5和无功（X）=σ ² = P（1-P）= 0.25。通过契比雪夫不等式，对于任何k> 0，我们都有：

现在，取k = 0.1和δ= 0.01，我们有：

以这种方式得出的结论是，至少需要2,500个样本大小才能确保事件-Sn-0.5-> = 0.1的概率小于0.01。

Chebyshov型不等式

与切比绍夫不等式有关的不等式有几个。最著名的之一是马尔可夫不等式：

在这个表达式中，X是一个非负随机变量，其k，r> 0。

马尔可夫不等式可以采取不同的形式。例如，令Y为非负随机变量（因此P（Y> = 0）= 1），并假设E（Y）=μ存在。还假设（E（Y））^{- [R} =μ _{- [R}存在一些整数R> 1。所以：

另一个不等式是高斯（Gaussian），它告诉我们，给定单模随机变量X，其众数为零，那么对于k> 0，

参考文献

1. 启来涌。具有随机过程的基本概率论。纽约斯普林格出版社
2. 肯尼斯·H Rosen。离散数学及其应用。SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DEESPAÑA。
3. 保罗·迈耶（Paul L. 概率与统计应用。SA ALHAMBRA墨西哥。
4. Seymour Lipschutz博士 2000解决离散数学问题。麦格劳·希尔。
5. Seymour Lipschutz博士理论和概率问题。麦格劳·希尔。