所述博尔扎诺定理指出，如果一个函数是连续的，在一个封闭的间隔的每一个点和纳的“一”和“b”（作用下）具有相反的符号的图像，然后将有至少一个点“ c“在打开间隔（a，b）中，以使” c“中评估的函数等于0。
这个定理由哲学家，神学家和数学家伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）于1850年提出。这位科学家，现今捷克共和国出生，是历史上第一位正式证明连续函数性质的数学家之一。
说明
博尔扎诺定理也称为中间值定理，它有助于确定实变量的某些实函数的特定值，尤其是零。
在给定函数中，f（x）继续-即，f（a）和f（b）通过曲线连接-，其中f（a）在x轴以下（它为负），而f（b）通过在x轴上方（它为正），反之亦然，在图形上，x轴上会有一个截止点，代表一个中间值“ c”，该中间值在“ a”和“ b”之间，而f（c）的值等于0。
当以图形方式分析Bolzano定理时，可以看出，对于在一个区间上定义的每个连续函数f（其中f（a）* f（b）小于0），该函数中至少有一个根“ c” （a，b）的间隔。
该定理没有确定在该开放间隔中的点数，它仅指出至少有1个点。
示范
为了证明博尔扎诺定理，不失一般性地假设f（a）<0和f（b）> 0；因此，在“ a”和“ b”之间可以有许多值，其中f（x）= 0，但只需要显示一个即可。
我们从在中点（a + b）/ 2处评估f开始。如果f（（a + b）/ 2）= 0，则证明到此结束；否则，f（（a + b）/ 2）为正或负。
选择间隔的一半，以使在极值处评估的函数的符号不同。这个新的间隔将是。
现在，如果在中点计算的f不为零，则执行与之前相同的操作；也就是说，选择满足标志条件的间隔的一半。将此作为新的间隔。
如果继续此过程，那么将有两个序列{an}和{bn}，例如：
{an}在增加而{bn}在减少：
a≤a1≤a2≤…≤a≤…。≤…。≤bn≤…。≤b2≤b1≤b。
如果计算每个间隔的长度，则必须：
b1-a1 =（ba）/ 2。
b2-a2 =（ba）/2²。
…。
bn-an =（ba）/ 2 ^ n。
因此，当n接近（bn-an）的无穷大时，极限等于0。
使用{an}递增和有界，而{bn}递减并有界，我们就有一个值«c»使得：
a≤a1≤a2≤…≤a≤….≤c≤…。≤bn≤…。≤b2≤b1≤b。
an的限制为“ c”，{bn}的限制也为“ c”。因此，在任何δ> 0的情况下，总有一个“ n”，使得该间隔包含在间隔（c-δ，c +δ）之内。
现在，必须证明f（c）= 0。
如果f（c）> 0，则由于f是连续的，因此存在ε> 0，使得f在整个时间间隔（c –ε，c +ε）中为正。但是，如上所述，存在一个值“ n”，以使f改变符号，而且包含在（c –ε，c +ε）中，这是一个矛盾。
如果f（c）<0，则因为f是连续的，所以存在ε> 0，使得在整个时间间隔（c –ε，c +ε）中f为负。但存在一个值“ n”，以使f更改登录。事实证明，它包含在（c –ε，c +ε）中，这也是一个矛盾。
因此，f（c）= 0，这就是我们想要证明的。
这是为了什么
根据其图形化解释，博尔扎诺定理用于通过二等分（逼近）在连续函数中查找根或零，这是一种始终将区间除以2的增量搜索方法。
然后采取一个间隔或在其中发生符号变化，并重复该过程直到该间隔越来越小，以便能够接近所需的值。也就是函数的值为0。
总而言之，要应用博尔扎诺定理并由此找到根，限制函数的零点或给方程式求解，请执行以下步骤：
-验证f是否为区间上的连续函数。
-如果没有给出间隔，则必须找到连续的函数。
-验证在f中评估时，区间的极值是否给出相反的符号。
-如果未获得相反的符号，则必须使用中点将间隔分为两个子间隔。
-在中点评估函数，并验证满足f（a）* f（b）<0 的Bolzano假设。
-根据找到的值的符号（正或负），以新的子间隔重复该过程，直到满足上述假设为止。
解决的练习
练习1
确定函数f（x）= X 2 - 2，具有在间隔至少一个真实溶液。
解
我们有函数f（x）= x 2-2。因为它是多项式，所以它在任何间隔内都是连续的。
要求确定它在区间中是否具有实际解，因此现在只需要在函数中替换区间的极限即可知道这些极限的符号并知道它们是否满足不同的条件：
F（X）= X 2 - 2
F（1）= 1 2 - 2 = -1（负）
F（2）= 2 2 - 2 = 2（正）
因此，f（1）的符号≠f（2）的符号。
这确保至少有一个点“ c”属于该区间，其中f（c）= 0。
在这种情况下，“ c”的值可以很容易地计算如下：
X 2 - 2 = 0
x =±√2。
因此，√2≈1,4属于区间并满足f（√2）= 0。
练习2
证明方程x 5 + x + 1 = 0至少具有一个实解。
解
首先让我们注意f（x）= x 5 + x + 1是一个多项式函数，这意味着它在所有实数上都是连续的。
在这种情况下，没有给出间隔，因此必须直观地选择值，最好接近0，以评估函数并找到符号变化：
如果使用间隔，则必须：
f（x）= x 5 + x + 1。
f（0）= 0 5 + 0 + 1 = 1> 0。
f（1）= 1 5 +1 + 1 = 3> 0。
由于没有符号变化，因此以另一个间隔重复该过程。
如果使用间隔，则必须：
f（x）= x 5 + x + 1。
f（-1）=（-1）5 +（-1）+1 = -1 <0。
f（0）= 0 5 + 0 + 1 = 1> 0。
在此时间间隔内，符号发生了变化：f（-1）的符号≠f（0）的符号，这意味着函数f（x）= x 5 + x + 1至少具有一个实根«c»在区间中，使f（c）=0。换句话说，x 5 + x + 1 = 0在区间中有一个实解。
参考文献
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