的黎曼和是给定积分的近似计算的名，由具有有限数量的方面的离散求和的装置。常见的应用是图上函数面积的近似值。

是德国数学家格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866年）首次对给定区间内的函数积分进行了严格的定义。他在1854年发表的一篇文章中宣布了这一点。

图1.黎曼和定义在函数f和区间中的分区上。资料来源：范妮·扎帕塔（Fanny Zapata）。

黎曼和定义在函数y = f（x）上，其中x属于闭合区间。在此间隔上，对n个元素进行分区P：

P = {x ₀ = a，x ₁，x ₂，…，x _n = b}

这意味着间隔划分如下：

X _K-1 ≤吨_ķ ≤X _ķ

图1以图形方式显示了在四个子区间（灰色矩形）的区间上的区间f的黎曼和。

该和表示矩形的总面积，并且该和的结果在数值上近似于曲线f下的面积，介于横坐标x = x _0和 x = x _4之间。

当然，随着分割数n的增加，曲线下面积的近似值大大提高。这样，当分隔数n趋于无穷大时，总和收敛到曲线下的面积。

公式和属性

分区上函数f（x）的黎曼和：

P = {x ₀ = a，x ₁，x ₂，…，x _n = b}

在时间间隔内定义，由下式给出：

S（P，f）= ∑ _{k = 1} ⁿ f（t _k）（x _k -x _k-1）

其中t _k是间隔中的值。在黎曼和中，通常使用宽度为Δx=（b-a）/ n的规则间隔，其中a和b是横坐标的最小值和最大值，而n是细分的数量。

在这种情况下，黎曼右和为：

Sd（f，n）= *Δx

图2.黎曼右和。资料来源：维基共享资源。09格拉斯哥09。

黎曼剩余和表示为：

如果（f，n）= *Δx

图3.左黎曼和。资料来源：维基共享资源。09格拉斯哥09

最后， 中央黎曼和为：

Sc（f，n）= *Δx

图4.中间黎曼和。资料来源：维基共享资源。09格拉斯哥09

取决于点t _k在区间中的位置，黎曼和可以高估或低估函数y = f（x）曲线下面积的精确值。换句话说，矩形可以从曲线突出或稍低于曲线。

曲线下面积

黎曼和的主要性质及其重要性在于，如果细分的数量趋于无穷大，则和的结果收敛到该函数的确定积分：

解决的练习

-练习1

计算函数的a = -2到b = +2之间的定积分的值：

f（x）= x ²

利用黎曼和。为此，首先找到间隔的n个规则分区的总和，然后对分区数趋于无穷大的情况采用数学极限。

解

这些是要遵循的步骤：

-首先，将分区间隔定义为：

Δx＝（b-a）/ n。

-然后，右边与函数f（x）对应的黎曼和为：

-然后在汇总中将其仔细替换：

-下一步是分离总和，并将常数作为每个总和的公因子。必须考虑到索引为i，因此具有n的数字和项被认为是常数：

-评估每个总和，因为对于每个总和都有合适的表达式。例如，总和的第一个为n：

-最后，要计算的积分为：

读者可以检查这是否是正确的结果，可以通过求解不定积分并通过巴罗定律评估积分极限来获得。

-练习2

大致确定该功能下的面积：

F（X）=（1 /√（2π））在线^{（-x 2 /2）}

使用带有10个分区的中央Riemann和输入x = -1和x = + 1。与精确结果进行比较，并估计百分比差异。

解

两个连续离散值之间的步长或增量为：

Δx=（1-（-1）/ 10 = 0.2

因此，在其上定义了矩形的分区P如下所示：

P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}

但是由于所需的是中心和，因此将在子间隔的中点（即在集合中）对函数f（x）求值：

T = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}。

（中央）黎曼和看起来像这样：

S = f（-0.9）* 0.2 + f（-0.7）* 0.2 + f（-0.5）* 0.2 +…+ f（0.7）* 0.2 + f（0.9）* 0.2

由于函数f是对称的，因此可以将和减少为5个项，并且结果乘以2：

S = 2 * 0.2 * {f（0.1）+ f（0.3）+ f（0.5）+ f（0.7）+ f（0.9）}

S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683

在此示例中给出的功能不过是众所周知的高斯钟形（归一化，均值等于零，标准差为1）。该函数的时间间隔在曲线下的面积已知为0.6827。

图5.高斯钟形下的面积由黎曼和近似。资料来源：F. Zapata。

这意味着只有10个项的近似解将精确解与小数点后三位相匹配。近似积分和精确积分之间的百分比误差为0.07％。

参考文献

1. Casteleiro，JM和Gómez-Álvarez，RP（2002）。积分演算（插图版）。马德里：ESIC社论。
2. Unican。积分概念的历史。从以下位置恢复：repositorio.unican.es
3. 统计研究所。黎曼总结。从以下位置恢复：matematicas.uis.edu.co
4. 维基百科。黎曼总和。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
5. 维基百科。黎曼积分。从以下位置恢复：es.wikipedia.com