中心对称：属性，示例和练习 - 数学 - 2025

当线段AA'穿过时，两个点A和A' 相对于点O 具有中心对称性，并且它也是AA'的中点。点O称为对称中心。

三角形ABC相对于点O的中心对称是另一个三角形A'B'C'，它具有以下特征：

-同源片段的长度相等

-它们相应的角度具有相同的度量。

图1.三角形ABC及其对称A'B'C'。资料来源：F. Zapata。

图1显示了三角形ABC（红色）及其相对于对称中心O的中心对称性A'B'C'（绿色）。

在同一张图中，细心的观察者将意识到，只要原始三角形的旋转角度为180º，并且以O为中心，就可以得到相同的结果。

因此，中心对称性相当于相对于对称中心旋转了180º。

中心对称的性质

中心对称具有以下特性：

-对称中心是连接点的对称点的中点。

-位于对称中心的另一个对称点与对称中心重合。

-三角形的中心对称是与原始三角形相等的三角形（相等）。

-圆心对称的图像是另一个半径相等的圆。

-圆周相对于自己的中心具有中心对称性。

图2.具有中心对称性的设计。资料来源：

-椭圆相对于其中心具有中心对称性。

-段相对于中点具有中心对称性。

-等边三角形相对于其中心不具有中心对称性，因为它的对称性虽然与第一个相等，但给出了一个旋转的等边三角形。

-正方形相对于中心具有中心对称性。

-五边形相对于其中心缺乏中心对称性。

-当规则的多边形的边数为偶数时，它们具有中心对称性。

例子

对称性准则在科学和工程中有许多应用。中心对称性存在于自然界中，例如冰晶和蜘蛛网具有这种对称性。

此外，当利用中心对称性和其他对称性的存在时，许多问题很容易解决。因此，方便快速识别何时发生。

图3.冰晶具有中心对称性。资料来源：

例子1

给定坐标（a，b）的点P，我们必须找到相对于坐标（0，0）的原点O的对称P'的坐标。

首先要构造点P'，为此绘制一条穿过原点O和点P的线。这条线的方程式为y =（b / a）x。

现在，我们将对称点P'的坐标称为（a'，b'）。点P'必须位于通过O的线上，因此为真：b'=（b / a）a'。此外，距离OP必须等于OP'，以分析形式将其写为：

√（A ² + B ²）=√（A ' ² + B' ²）

以下是在上一个表达式中替换b'=并将等式的两边都平方以消除平方根：（a ² + b ²）=

通过提取公因子并简化，我们得到^a'2 = a ²。该方程具有两个实际解：'= + a或a'= -a。

为了得到b'，我们再次使用b'=（b / a）a'。如果替换了a的正解，我们得出b = b。当负解被替换时，则b'= -b。

正解为P'提供了相同的点P，因此将其丢弃。负解肯定会给出对称点的坐标：

P'：（-a，-b）

例子2

需要证明段AB及其中心对称的A'B'具有相同的长度。

从点A的坐标（Ax，Ay）和点B的坐标（Bx，By）开始，线段AB的长度由下式给出：

d（AB）=√（（Bx-Ax）² +（By-Ay）²）

以此类推，对称段A'B'的长度为：

d（A'B'）=√（（Bx'-Ax'）² + （By' -Ay'）²）

对称点A'的坐标为Ax'= -Ax和Ay'= -Ay。同样，B'的那些是Bx'= -Bx和By'= -By。如果将这些坐标替换为距离d（A'B'）的方程式，我们将：

d（A'B'）=√（（-Bx + Ax）² +（-By + Ay）²），它等效于：

√（（Bx-Ax）² +（By-Ay）²）= d（AB）

因此显示出两个段具有相同的长度。

解决的练习

-练习1

分析表明，半径为R的圆的中心对称O和中心O的原始对称圆相同。

解

半径为R且中心为O（0,0）的圆的方程为：

x ² + y ² = R ²（周长C的方程）

如果在坐标（x，y）的圆周y的每个点P上找到了它的坐标（x'，y'）的对称P'，则对称圆周的方程为：

X ' ² + Y' ² = R ²（方程对称圆C“）的

现在我们参考示例1的结果，其中得出的结论是，与P对称且坐标为（a，b）的点P'的坐标为（-a，-b）。

但是在本练习中，点P具有坐标（x，y），因此其对称P'将具有坐标x'= -xe y'= -y。用对称圆的方程式代替：

（-x）² +（-y）² = R ²

这等效于：x ² + y ² = R ²，得出结论，圆相对于其中心的中心对称是圆本身。

-练习2

以几何形式显示中心对称性保留了角度。

解

图4.锻炼的对称点的构建2.资料来源：F. Zapata。

平面上有三个点A，B和C。其对称性A'，B'和C'是相对于对称中心O构造的，如图4所示。

现在我们必须证明角度∡ABC=β与角度∡A'B'C'=β'具有相同的度量。

由于C和C'是对称的，因此OC = OC'。同样，OB = OB'和OA = OA'。另一方面，角度∡BOC=∡B'OC'是因为它们与顶点相对。

因此，三角形BOC和B'OC'是全等的，因为它们在两个相等边之间具有相等的角度。

由于BOC与B'OC'一致，则角度γ和γ'相等。但是，这些角度除了满足γ=γ'外，还为线BC和B'C'之间的内部交变，这意味着线BC与B'C'平行。

类似地，BOA与B'OA'一致，由此得出α=α'。但是α和α'是线BA和B'A'之间的交替的内角，由此可以得出线BA平行于B'A'的结论。

由于角度∡ABC=β的边与角度∡A'B'C'=β'平行，并且都为锐角，因此得出以下结论：

∡ABC=∡A'B'C'=β=β'

以此方式证明，中心对称性节省了角度的量度。

参考文献

1. Baldor，JA，1973年。《平面和空间几何》。中美洲文化。
2. 数学定律和公式。角度测量系统。从以下网站恢复：ingemecanica.com。
3. Wentworth，G。《平面几何》。摘自：gutenberg.org。
4. 维基百科。中央对称。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
5. 维基百科。输送带。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
6. ZapataF。共轭内角和外角。从以下网址恢复：lifeder.com