甲幂级数由术语的总和的在变量x的幂的形式，或者更一般地，XC，其中c是常数的实数的。概括来说，一系列幂表示如下：
系数a o，a 1，a 2 …是实数，并且该序列从n = 0开始。
图1.幂级数的定义。资料来源：F. Zapata。
该系列以恒定的c值为中心，但是您可以选择c等于0，在这种情况下，幂级数简化为：
该系列分别以a 或（xc）0和a 或 x 0开头。但是我们知道：
（xc）0 = x 0 = 1
因此a o（xc）0 = a 或 x 0 = a o（独立项）
幂级数的优点是可以使用它们来表达函数，这具有许多优点，尤其是当您要使用复杂的函数时。
在这种情况下，与其直接使用该函数，不如使用其幂级数展开，这样可以更轻松地推导，积分或数值运算。
当然，一切都取决于该系列的融合。当添加一定数量的项时，级数收敛，给出固定值。而且，如果我们仍然添加更多的条款，我们将继续获得该价值。
用作电源系列
作为表示为幂级数的函数的示例，让我们考虑f（x）= e x。
此函数可以用以下一系列幂来表示：
和X ≈1 + X +（X 2 /2！）+（X 3 /3！）+（X 4 /4！）+（X 5 /5！）+…
哪里！= n。（n-1）。（n-2）。（n-3）…需要0！= 1。
我们将在计算器的帮助下检查该系列确实与明确给出的功能相符。例如，让我们从x = 0开始。
我们知道e 0 =1。让我们看一下该序列的作用：
和0 ≈1 + 0 +（0 2 /2！）+（0 3 /3！）+（0 4 /4！）+（0 5 /5！）+… = 1
现在让我们尝试x = 1。计算器返回e 1 = 2.71828，然后与该系列进行比较：
和1 ≈1 + 1 +（1 2 /2！）+（1 3 /3！）+（1 4 /4！）+（1 5 /5！）+… = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +…≈2.7167
仅用5个项，我们就已经在e≈2.71中有一个完全匹配项。我们的级数还差一点，但是随着添加更多的项，该级数肯定会收敛于e的确切值。当n→∞时，表示是精确的。
如果对n = 2重复先前的分析，则将获得非常相似的结果。
通过这种方式，我们确定指数函数f（x）= e x可以由这一系列幂表示：
图2。在此动画中，我们可以看到随着采用更多的项，幂级数如何更接近指数函数。资料来源：维基共享资源。
几何级数的幂
函数f（x）= e x并非唯一支持幂级数表示的函数。例如，函数f（x）= 1/1-x看起来很像众所周知的收敛几何级数：
进行a = 1和r = x足以获得适用于该函数的级数，其中心为c = 0：
但是，已知该序列对于│r│<1是收敛的，因此尽管该函数对除x = 1以外的所有x均有效，但该表示仅在间隔（-1,1）中有效。
当您想在另一个范围内定义此功能时，只需关注一个合适的值即可。
如何找到函数的幂级数展开
只要函数在x = c处具有所有阶的导数，就可以以c为中心的幂级数来开发任何函数。该过程利用以下定理，称为泰勒定理：
令f（x）是阶数为n的导数的函数，表示为f （n），该函数允许在区间I上幂的级数展开。他对泰勒的连环发展是：
以便：
其中R n是序列的第n个项，称为余数：
当c = 0时，该系列称为Maclaurin系列。
这里给出的级数与开始时给出的级数相同，只是现在我们有了一种方法来显式地找到每个项的系数，如下所示：
但是，我们必须确保级数收敛到要表示的函数。碰巧，并非每个泰勒级数都必然收敛到计算n处的系数时要考虑的f（x）。
发生这种情况的原因可能是，在x = c处求值的函数的导数与在x = c处另一个函数的导数的相同值一致。在这种情况下，系数将是相同的，但是发展将是模棱两可的，因为不确定其对应的功能是什么。
幸运的是，有一种方法可以知道：
收敛准则
为避免歧义，如果间隔I中所有x的R n →0为n→∞，则级数收敛到f（x）。
行使
-运动已解决1
找到函数f（x）= 1/2-x以c = 0为中心的几何幂级数。
解
给定函数的表达方式必须使其与已知序列的1 / 1-x尽可能重合。因此，让我们重写分子和分母，而无需更改原始表达式：
1/2-x =（1/2）/
因为½是常数，所以它是从求和中得出的，并用新变量x / 2表示：
请注意，x = 2不属于该函数的域，并且根据“几何幂级数”部分中给出的收敛准则，展开对于│x/2│<1或等效于-2 <x <2是有效的。
-练习2
求函数f（x）= sin x的Maclaurin级数展开的前5个项。
解
第1步
首先是衍生物：
-阶数0的导数：它是相同的函数f（x）= sin x
-一阶导数：（sin x）´= cos x
-二阶导数：（sin x）´´ =（cos x）´=-sin x
-三阶导数：（sin x）´´´ =（-sen x）´=-cos x
-四阶导数：（sin x）´´´ =（-cos x）´= sin x
第2步
然后，在x = c处评估每个导数，在Maclaurin展开中c = 0时也是如此：
sin 0 = 0; cos 0 = 1; -sin 0 = 0; -cos 0 = -1; 罪0 = 0
第三步
构造系数a n；
一个Ô = 0/0！= 0; 一个1 = 1/1！= 1; 一个2 = 0/2！= 0; a 3 = -1 / 3！; 一个4 = 0/4！= 0
第4步
最后，根据以下内容组装该系列：
sin x≈0.x 0 + 1。x 1 + 0.x 2-（1/3！）x 3 + 0.x 4 …= x-（1/3！））x 3 +…
读者是否需要更多条款？还有多少个系列更接近该函数。
请注意，系数中有一个模式，下一个非零项是5，所有具有奇数索引的项也都不同于0，并交替了符号，因此：
sin x≈x-（1/3！））x 3 +（1/5！））x 5-（1/7！））x 7 +…。
剩下的工作是检查它是否收敛，商准则可以用于级数的收敛。
参考文献
- CK-12基金会。幂级数：功能和操作的表示。从ck12.org中恢复。
- Engler，A.2019。积分微积分。国立法律大学。
- Larson，R.2010。变量的计算。9号 版。麦格劳·希尔。
- 数学免费课本。电源系列。从以下位置恢复：math.liibretexts.org。
- 维基百科。电源系列。摘自：es.wikipedia.org。