在共面点都属于同一平面上。两个点始终是共面的，因为这些点定义了一条无限平面穿过的线。然后，两个点都属于通过线的每个平面，因此它们将始终是共面的。
另一方面，三个点定义一个平面，由此得出三个点将始终与它们确定的平面共面。
图1. A，B，C和D与（Ω）平面共面。E，F和G与（Ω）不共面，但与它们定义的平面共面。资料来源：F. Zapata。
三个以上的点可以共面，也可以不共面。例如，在图1中，点A，B，C和D与平面（Ω）共面。但是，E，F和G与（Ω）不共面，尽管它们与它们定义的平面共面。
给定三点的平面方程
由三个已知点A，B，C确定的平面方程是一种数学关系，可以保证任何具有满足该方程的通用坐标（x，y，z）的点P都属于该平面。
前面的陈述等效于说，如果坐标（x，y，z）的P满足平面方程，则该点将与确定平面的三个点A，B，C共面。
为了找到该平面的方程，让我们从找到向量AB和AC开始：
AB =
AC =
向量乘积AB X AC产生垂直于或垂直于由点A，B，C确定的平面的向量。
如果矢量AP垂直于矢量AB X AC，则坐标为（x，y，z）的任何点P都属于该平面，如果满足以下条件，则可以保证：
AP•（AB X AC） = 0
这相当于说AP，AB和AC的三乘积为零。上面的等式可以用矩阵形式写成：
例
让点A（0，1，2）; B（1,2,3）; C（7，2，1）和D（a，0，1）。这四个点共面必须具有什么值？
解
为了找到a的值，点D必须是由A，B和C确定的平面的一部分，如果满足平面方程，则可以保证。
开发我们的行列式：
前面的等式告诉我们，要满足相等性，a = -1。换句话说，点D（a，0,1）与点A，B和C共面的唯一方法是a为-1。否则它将不会共面。
解决的练习
-练习1
平面分别在1、2和3处与笛卡尔轴X，Y，Z相交。该平面与轴的交点确定点A，B和C。找到点D的分量Dz，其笛卡尔分量为：
假设D与点A，B和C共面
解
当已知具有笛卡尔坐标轴的平面的截距时，可以使用平面方程的分段形式：
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1
由于点D必须属于先前的平面，因此它必须：
-Dz / 1 +（Dz + 1）/ 2 + Dz / 3 = 1
也就是说：
-Dz + Dz / 2 +½+ Dz / 3 = 1
Dz（-1 +½+⅓）=½
Dz（-1 /6⅙）=½
Dz = -3
从上面可以看出，点D（3，-2，-3）与点A（1、0、0）共面；B（0，2，0）和C（0，0，3）。
-练习2
确定点A（0，5，3）; B（0，6，4）; C（2，4，2）和D（2，3，1）是共面的。
解
我们形成矩阵，其行是DA，BA和CA的坐标。然后计算行列式，并验证行列式是否为零。
完成所有计算后，得出的结论是它们是共面的。
-练习3
在空间中有两行。其中之一是线（R），其参数方程式为：
另一个是方程式为的线（S）：
证明（R）和（S）是共面线，即它们位于同一平面上。
解
让我们先在线（R）上任意取两个点，并在（S）线上任意取两个点：
线（R）：λ= 0; A（1，1，1）和λ= 1; B（3，0，1）
令（S）=> y =½上的x = 0; C（0，½，-1）。另一方面，如果我们使y = 0 => x = 1；D（1、0，-1）。
也就是说，我们已经获取了属于线（R）的点A和B，以及属于线（S）的点C和D。如果这些点是共面的，那么两条线也将相同。
现在我们选择点A作为枢轴，然后找到矢量AB，AC和AD的坐标。这样，您将获得：
B-A：（3-1，0 -1，1-1）=> AB =（2，-1，0）
C-A：（0-1、1 / 2 -1，-1-1）=> AC =（-1，-1 / 2，-2）
D-A：（1-1，0 -1，-1-1）=> AD =（0，-1，-2）
下一步是构造和计算行列式，其第一行是矢量AB的系数，第二行是AC的系数，第三行是矢量AD的系数：
由于行列式结果为空，因此我们可以得出结论，这四个点是共面的。另外，可以说线（R）和（S）也是共面的。
-练习4
如练习3中所示，线（R）和（S）是共面的。找到包含它们的平面的方程。
解
点A，B，C完全定义了该平面，但是我们要强加坐标（x，y，z）的任何点X都属于该平面。
对于X属于线（R）和（S）包含在由A，B，C，并且其中所限定的平面，这是必要的形成行列式其第一行中通过的组件AX，第二次在排由AB的代表和由AC的代表代表：
根据此结果，我们以这种方式分组：
2（x-1）+ 4（y-1）-2（z-1）= 0
立即您可以看到它可以像这样重写：
x-1 + 2y-2-z + 1 = 0
因此x + 2y-z = 2是包含线（R）和（S）的平面方程。
参考文献
- 弗莱明，W。1989年。微积分数学。Prentice Hall PTR。
- Kolman，B.2006。线性代数。培生教育。
- Leal，JM，2005年。平面分析几何。梅里达-委内瑞拉：社论委内瑞拉
- 纳瓦罗·罗西奥。向量。从以下地址恢复：books.google.co.ve。
- 佩雷斯，CD，2006年。预先计算。培生教育。
- Prenowitz，W.2012。《几何基本概念》。Rowman和Littlefield。
- Sullivan，M.，1997年。微积分。培生教育。