曼恩考试 - 杜达斯 - 2025

当两个独立样本的数据很少或不遵循正态分布时，可以使用曼恩-惠特尼U检验进行比较。这样，它被认为是非参数检验，这与它的同源学生t检验不同，后者在样本足够大且遵循正态分布时使用。

弗兰克·威尔科克森（Frank Wilcoxon）于1945年首次提出了相同大小的样品的建议，但两年后，亨利·曼恩（Henry Mann）和惠特尼（DR Whitney）将其扩展为不同大小的样品。

图1. Mann-Whitney U检验用于比较独立样本。资料来源：

该测试通常用于检查定性变量和定量变量之间是否存在关系。

一个说明性的例子是采取一组高血压人群并抽取两组，从中记录一个月的每日血压数据。

治疗A适用于一组，治疗B适用于另一组，这里的血压是定量变量，治疗的类型是定性变量。

我们想知道测量值的中位数而不是平均值在统计上是相同还是不同，以确定两种治疗方法之间是否存在差异。为了获得答案，应用了Wilcoxon统计或Mann-Whitney U检验。

Mann-Whitney U检验中的问题陈述

可以应用测试的另一个示例如下：

假设您想知道该国两个地区的软饮料消费量是否存在显着差异。

其中一个被称为A区，另一个被称为B区。以两个样本记录每周消耗的公升记录：A区为10人，B区为5人。

数据如下：

-地区A：16、11、14、21、18、34、22、7、12、12

-B区：12,14,11,30,10

出现以下问题：

定性变量与定量变量

-定性变量X：区域

-定量变量Y：软饮料的消耗量

如果在两个区域中消耗的升量相同，则得出的结论是，两个变量之间没有依赖性。找出方法是比较两个地区的平均趋势或中位数趋势。

正常情况

如果数据遵循正态分布，则通过两个均值之间的比较，提出两个假设：零H0和替代H1：

- H0：有平均两个区域之间没有差异。

- H1：这两个区域的方法是不同的。

趋势不正常的情况

相反，如果数据不遵循正态分布或样本太小而无法知道，则不比较均值，而是比较两个区域的中位数。

- H0：有两个地区的中位数之间没有什么区别。

- H1：这两个地区的中位数是不同的。

如果中位数重合，则满足零假设：软饮料的消费与该地区之间没有关系。

如果情况相反，则替代假设成立：消费与区域之间存在联系。

在这些情况下，需要进行Mann-Whitney U检验。

配对或未配对的样本

决定是否应用Mann Whitney U检验的下一个重要问题是两个样本中的数据数量是否相同，也就是说，它们相等。

如果两个样本配对，则将使用原始的Wilcoxon版本。但是，如果不是（如示例中所示），则将应用改进的Wilcoxon检验，这正是Mann Whitney U检验。

曼·惠特尼U检验的特征

曼-惠特尼U检验是非参数检验，适用于不遵循正态分布或数据很少的样本。具有以下特点：

1.-比较中位数

2.-它适用于有序范围

3.-它的功能不那么强大，意味着功效是在原假设为假时拒绝原假设的概率。

考虑到这些特征，在以下情况下应用曼-惠特尼U检验：

-数据是独立的

-他们不遵循正态分布

-如果两个样本的中位数一致，则接受零假设H0：Ma = Mb

-如果两个样本的中位数不同，则接受替代假设H1：Ma≠Mb

曼-惠特尼公式

变量U是Mann-Whitney检验中使用的对比度统计量，其定义如下：

这意味着U是应用于每个组的Ua和Ub之间的最小值。在我们的示例中，它将到达每个区域：A或B。

变量Ua和Ub根据以下公式定义和计算：

Ua = Na Nb + Na（Na +1）/ 2-Ra

Ub = Na Nb + Nb（Nb +1）/ 2-Rb

这里的Na和Nb值分别是对应于区域A和B的样本的大小，对于它们而言，Ra和Rb是我们将在下面定义的秩和。

申请测试的步骤

1.-订购两个样品的值。

2.-为每个值分配一个订单等级。

3.-更正数据中的现有关系（重复值）。

4.-计算Ra =样本A等级的总和。

5.-查找Rb =样本B等级的总和。

6.-根据上一节中给出的公式确定值Ua和Ub。

7.-比较Ua和Ub，然后将两者中较小的一个分配给实验U统计量（即数据的统计量），将其与理论或正常U统计量进行比较。

实际应用实例

现在，我们将上述方法应用于先前提出的软饮料问题：

A区：16、11、14、21、18、34、22、7、12、12

B区：12,14,11,30,10

根据两个样本的均值在统计学上是相同还是不同，是否接受零假设：变量Y和X之间没有关系，也就是说，软饮料的消耗量不取决于区域：

H0：Ma = Mb

H1：Ma≠Mb

图2.地区A和地区B的软饮料消费数据。资料来源：F. Zapata。

- 第1步

我们继续为两个样本共同排序数据，将值从最低到最高排序：

请注意，值11出现2次（每个样本一次）。最初它具有位置或范围3和4，但是为了不高估或低估一个或另一个，选择平均值作为范围，即3.5。

以类似的方式，我们继续使用值12，该值在范围5、6和7中重复了三次。

好吧，值12的平均范围为6 =（5 + 6 + 7）/ 3。值14相同，在位置8和9处有连字（出现在两个样本中），它的平均范围为8.5 =（8 + 9）/ 2。

- 第2步

接下来，再次将区域A和B的数据分开，但是现在它们的相应范围在另一行中分配：

A区

B区

从每种情况或区域的第二行元素的总和中获得范围Ra和Rb。

第三步

计算各自的Ua和Ub值：

Ua = 10×5 + 10（10 +1）/ 2-86 = 19

Ub = 10×5 + 5（5 +1）/ 2 -34 = 31

实验值U =最小值（19，31）= 19

第4步

假设理论U遵循正态分布N，其参数仅由样本的大小给出：

N（（na⋅nb）/ 2，√）

为了将实验获得的变量U与理论U进行比较，有必要对变量进行更改。我们将实验变量U传递给它的标准化值（称为Z），以便能够与标准化正态分布进行比较。

变量的变化如下：

Z =（U-nab / 2）/√

应该注意的是，对于变量的变化，使用了U的理论分布的参数，然后将新的变量Z与标准的正态分布N（0,1 ）。

比较标准

如果Z≤Zα⇒接受零假设H0

如果Z>Zα⇒拒绝原假设H0

标准化的Zα临界值取决于所需的置信度，例如，对于最常见的置信度α= 0.95 = 95％，可以获得临界值Zα= 1.96。

对于此处显示的数据：

Z =（U-na nb / 2）/√= -0.73

低于临界值1.96。

因此，最终结论是零假设H0被接受：

曼恩-惠特尼U检验的在线计算器

有一些用于统计计算的特定程序，包括SPSS和MINITAB，但是这些程序是付费的，使用起来并不总是那么容易。这是因为它们提供了很多选择，以致实际上它们只供统计专家使用。

幸运的是，这里有一些非常准确，免费且易于使用的在线程序，这些程序可让您运行Mann-Whitney U测试。

这些程序是：

-社会科学统计（socscistatistics.com），对于均衡或成对的样本，它具有Mann-Whitney U检验和Wilcoxon检验。

-AI Therapy Statistics（ai-therapy.com），其中包含几种描述性统计数据的常用测试。

-使用统计信息（physics.csbsju.edu/stats），最早的统计信息之一，尽管它还是一个非常有效的免费程序，但其界面看起来可能过时。

参考文献

1. Dietrichson。定量方法：等级检验。从以下网址恢复：bookdown.org
2. MarínJ P. SPSS指南：非参数测试中的分析和过程。从以下位置恢复：halweb.uc3m.es
3. USAL MOOC。非参数检验：Mann-Whitney U. 从以下网址恢复：youtube.com
4. 维基百科。曼恩·惠特尼U检验。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
5. XLSTAT。帮助中心。Mann-Whitney Excel中的测试教程。从以下位置恢复：help.xlsat.com