该关联属性加成的代表各种数学组的加法运算的关联性质。其中，所述集合的三个（或更多）元素相关联，分别称为a，b和c，因此始终为真：
a +（b + c）=（a + b）+ c
通过这种方式可以确保，不管进行操作的分组方式如何，结果都是相同的。
图1.在进行算术和代数运算时，我们多次使用加法的关联属性。（绘画：freepik组成：F。Zapata）
但应注意，关联属性与可交换属性不是同义词。也就是说，我们知道加数的顺序不会改变总和，或者因子的顺序不会改变乘积。因此，总和可以这样写：a + b = b + a。
但是，在关联属性中，它有所不同，因为要添加的元素的顺序得以保持，并且首先执行的操作发生了变化。这意味着首先添加（b + c）并向此结果添加a与开始将a与by添加到添加c的结果无关紧要。
许多重要的操作（例如加法）是关联的，但不是全部。例如，在减去实数时，会发生以下情况：
a-（b-c）≠（a-b）-c
如果a = 2，b = 3，c = 1，则：
2–（3-1）≠（2-3）-1
0≠-2
乘法的关联性质
正如加法所做的那样，乘法的关联属性指出：
a˟（b˟c）=（a˟b）˟c
对于实数集，很容易验证是否总是这样。例如，使用值a = 2，b = 3，c = 1，我们有：
2 ˟（3 ˟ 1）=（2 ˟ 3）˟ 1→2 ˟ 3 = 6 ˟ 1
6 = 6
实数满足加法和乘法的关联性质。另一方面，在另一组（例如向量）中，总和是关联的，但叉积或向量积却不是。
乘法关联属性的应用
满足关联属性的操作的一个优点是能够以最方便的方式进行分组。这使分辨率变得容易得多。
例如，假设在一个小型图书馆中有3个书架，每个书架有5个书架。每个书架上有8本书。一共有几本书？
我们可以执行以下操作：总书籍=（3 x 5）x 8 = 15 x 8 = 120本书。
或像这样：3 x（5 x 8）= 3 x 40 = 120本书。
图2.乘法的关联属性的一种应用是计算每个书架上的书籍数量。图片由F.Zapata创建。
例子
-在自然数，整数，有理数，实数和复数的集合中，满足加法和乘法的关联性质。
图3.对于实数，加法的关联属性已实现。资料来源：维基共享资源。
-对于多项式，它们也适用于这些运算。
-在减法，除法和乘幂运算的情况下，关联属性不适用于实数或多项式。
-在矩阵的情况下，满足相加和相乘的性质，尽管在后一种情况下，不满足可交换性。这意味着，给定矩阵A，B和C，确实是：
（A x B）x C = A x（B x C）
但是… A x B≠B x A
向量中的关联性质
向量与实数或复数形成不同的集合。为向量集定义的运算有些不同：有加，减和三种乘积。
向量之和，数字，多项式和矩阵都满足关联性质。对于标量乘积，矢量之间的乘积和叉乘标量，后者不能满足要求，但考虑到以下因素，标量乘积（它是矢量之间的另一种运算）的确可以满足标量积：
-标量与向量的乘积将得出向量。
-当两个向量按标量相乘时，将得到一个标量。
因此，在给定向量v，u和w以及另外一个标量λ的情况下，可以写出：
-向量和：v +（u + w）=（v + u） + w
-Scalar产物：λ（v • Ù）=（λ v）• ù
后者可能是由于这样的事实：v • ü是一个标量，λ v是一个向量。
然而：
v ×（u × w）≠（v × u） × w
通过对项进行分组分解多项式
此应用程序非常有趣，因为如前所述，关联属性有助于解决某些问题。单项式的总和是关联的，当乍一看没有明显的公因数时，可以将其用于因式分解。
例如，假设要求您分解：x 3 + 2 x 2 + 3 x +6。这个多项式没有公因数，但是让我们看看如果将其按以下方式分组会发生什么：
第一个括号的公因子为ax 2：
第二个因素是：
练习题
-练习1
一栋教学楼有4层，每层都有12间教室，内部有30张桌子。学校总共有多少张桌子？
解
通过应用乘法的关联属性可以解决此问题，让我们看看：
办公桌总数= 4层x 12教室/地板x 30课桌/教室=（4 x 12）x 30课桌= 48 x 30 = 1440课桌。
或者，如果您愿意：4 x（12 x 30）= 4 x 360 = 1440书桌
-练习2
给定多项式：
A（x）= 5x 3 + 2x 2 -7x + 1
B（x）= x 4 + 6x 3 -5x
C（x）= -8x 2 + 3x -7
应用加法的关联属性来找到A（x）+ B（x）+ C（x）。
解
您可以将前两个分组，并将第三个添加到结果中：
A（x）+ B（x）= + = x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x +1
立即添加多项式C（x）：
+ = X 4 + 11X 3 - 6× 2 -9x -6
如果使用选项A（x）+求解，则读者可以验证结果是否相同。
参考文献
- Jiménez，R.，2008年。代数。学徒大厅。
- 数学很有趣，可交换，关联和分配律。从以下位置恢复：mathisfun.com。
- 数学仓库。关联属性的定义。从以下位置恢复：mathwarehouse.com。
- 科学。加法和乘法的关联和交换性质（带有示例）。从以下网站恢复：sciencing.com。
- 维基百科。关联属性。摘自：en.wikipedia.org。