平行六面体：特征，类型，面积，体积 - 数学 - 2025

甲平行六面体是六个面，其主要特点是它的所有面的平行四边形是同时其相对的表面是相互平行的由一几何体。它是我们日常生活中常见的多面体，因为我们可以在鞋盒，砖块形状，微波炉形状等中找到它。

作为多面体，平行六面体围成一个有限的体积，并且其所有面都是平坦的。它是一组棱镜的一部分，这些棱镜是其所有顶点都包含在两个平行平面中的多面体。

平行六面体的元素

面孔

它们是由限制平行六面体的平行四边形形成的每个区域。平行六面体有六个面，其中每个面都有四个相邻面，一个相对。而且，每个面都与其相对面平行。

边缘

他们是两个面孔的共同一面。平行六面体总共有十二条边。

顶点

这是三个两两相邻的面的公共点。平行六面体有八个顶点。

对角线

给定平行六面体彼此相对的两个面，我们可以绘制一条线段，该线段从一个面的顶点到另一个面的相反顶点。

该段称为平行六面体的对角线。每个平行六面体都有四个对角线。

中央

这是所有对角线相交的点。

平行六面体的特征

正如我们已经提到的，此几何体具有十二个边，六个面和八个顶点。

在平行六面体中，可以识别出由四个边缘形成的三组，它们彼此平行。此外，所述组的边缘还具有具有相同长度的特性。

平行六面体具有的另一个特性是它们是凸形的，也就是说，如果我们取属于平行六面体内部的任何一对点，则由所述一对点确定的线段也将在平行六面体之内。

另外，作为凸多面体的平行六面体符合欧拉定理的多面体定理，这使我们在面数，边数和顶点数之间建立了关系。这种关系以以下等式的形式给出：

C + V = A + 2

该特性被称为欧拉特性。

其中C是面数，V是顶点数，A是边数。

种类

我们可以根据平行六面体的面将其分类为以下类型：

正六面体

它们是六面体的六面体。每个矩形都与共享一条边的矩形垂直。它们是我们日常生活中最常见的，这是鞋盒和砖头的常用形式。

普通立方或六面体

这是前一个例子的特殊情况，其中每个面都是正方形。

立方体也是称为柏拉图固体的几何体的一部分。Platonic实体是凸多面体，因此其面和内角彼此相等。

菱面体

它的脸是菱形的平行六面体。这些菱形彼此相同，因为它们共享边。

菱面体

它的六张脸是菱形。回想一下，菱形是具有四个边和四个等于2到2的角度的多边形。菱形是既不是正方形，也不是矩形，也不是菱形的平行四边形。

另一方面，斜平行六面体是指至少一个高度与其边缘不一致的斜方体。在此分类中，我们可以包括菱形和菱形。

对角线计算

要计算一个正六面体的对角线，我们可以使用R ³的勾股定理。

回想一下，正六面体的特征是每侧都垂直于共享边的侧。根据这一事实，我们可以推断出每个边都与共享顶点的边垂直。

要计算正六面体的对角线长度，请按以下步骤操作：

1.我们计算其中一个面的对角线，并将其作为基准。为此，我们使用勾股定理。让我们将此对角线命名为d _b。

2.然后用d _b可以形成一个新的直角三角形，使得该三角形的斜边是我们要寻找的对角线D。

3.我们再次使用勾股定理，对角线的长度为：

以更图形的方式计算对角线的另一种方法是添加自由向量。

回想一下，通过将向量B的尾部与向量A的尖端放置在一起，可以添加两个自由向量A和B。

向量（A + B）是从A的尾部开始到B的顶端结束的向量。

让我们考虑一个我们希望为其计算对角线的平行六面体。

我们使用方便定向的向量识别边缘。

然后，我们将这些向量相加，所得向量将为平行六面体的对角线。

区

平行六面体的面积由其每个面的面积之和得出。

如果我们将其中一方确定为基础，

A _L + 2A _B =总面积

其中A _L等于与基底相邻的所有侧面的面积之和，称为横向面积，而A _B为基底的面积。

根据我们使用的平行六面体的类型，我们可以重写此公式。

六面体的区域

由公式给出

A = 2（ab + bc + ca）。

例子1

给定以下正六面体，边a = 6厘米，b = 8厘米，c = 10厘米，计算平行六面体的面积及其对角线的长度。

使用关于正二十面体面积的公式，我们有

A ＝ 2 ＝ 2 ＝ 2 ＝ 376cm ²。

注意，由于它是一个正二十面体，所以它的四个对角线的长度都是相同的。

使用毕达哥拉斯定理的空间，我们有

D =（6 ² + 8 ² + 10 ²）^1/2 =（36 + 64 + 100）^1/2 =（200）^1/2

立方体面积

由于每个边的长度相同，因此我们有a = b和a = c。用上一个公式代替

A = 2（aa + aa + aa）= 2（3a ²）= 6a ²

A = 6a ²

例子2

游戏机的盒子的形状像一个立方体。如果我们想用礼品包装纸包装这个盒子，那么知道立方体边缘的长度为45厘米，我们将花费多少纸？

使用立方体面积的公式，我们得到

A = 6（45厘米）² = 6（2025 cm ²）= 12150 cm ²

菱面体的面积

由于他们所有的脸都是相同的，因此只需计算其中一个的面积并将其乘以六即可。

我们拥有菱形的面积可以通过其对角线用以下公式计算

A _R =（Dd）/ 2

使用该公式可以得出菱面体的总面积为

A _T = 6（Dd）/ 2 = 3Dd。

例子3

后面的菱面体的面由菱形形成，菱形的对角线为D = 7 cm和d = 4 cm。您所在的地区

A ＝ 3（7cm）（4cm）＝ 84cm ²。

菱面体的面积

要计算菱形体的面积，我们必须计算组成菱形体的面积。由于平行六面体具有相对的面具有相同面积的特性，因此我们可以将侧面成三对。

这样，我们可以将您所在的区域

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

其中b _i是与边相关的底，而h _i是与这些底相对应的相对高度。

例子4

考虑以下平行六面体，

其中A边和A边（相对的边）的底边b = 10，高度h =6。标记的区域的值为

阿₁ = 2（10）（6）= 120

B和B'的b = 4且h = 6，所以

A ₂ = 2（4）（6）= 48

YC和C'的b = 10且h = 5，因此

A ₃ = 2（10）（5）= 100

最后菱形的区域是

A = 120 + 48 + 100 = 268。

平行六面体的体积

给我们提供平行六面体体积的公式是其一个面的面积乘以该面对应的高度的乘积。

V = A _C h _C

根据平行六面体的类型，可以简化此公式。

因此，例如，我们有一个正六面体的体积将由

V = abc。

其中a，b和c代表正交面体的边缘长度。

在特定情况下，多维数据集是

V = a ³

例子1

Cookie盒有三种不同的型号，您想知道在哪些型号中可以存储更多Cookie，即哪个盒中的存储量最大。

第一个是立方体，其边长为a = 10厘米

其体积将为V = 1000 cm ³

第二个边缘b = 17厘米，c = 5厘米，d = 9厘米

因此其体积为V = 765 cm ³

第三个具有e = 9厘米，f = 9厘米和g = 13厘米

它的体积是V = 1053 cm ³

因此，容量最大的盒子是第三。

获得平行六面体体积的另一种方法是使用矢量代数。特别是三点积。

三标量积的几何解释之一是平行六面体的体积，其边缘是三个向量，它们与起点共享相同的顶点。

这样，如果我们有一个平行六面体，并且想知道它的体积，^通过使其顶点之一与原点重合就足以在R ³中的坐标系中表示它。

然后，如图所示，用矢量表示在原点重合的边缘。

这样，我们就可以得出所述平行六面体的体积为

V =-AxB∙C-

或等效地，体积是由边缘向量的分量形成的3×3矩阵的行列式。

例子2

当在R ^3中表示以下平行六面体时，我们可以看到确定它的向量是

u =（-1，-3,0），v =（5，0，0）和w =（-0.25，-4，4）

使用三标量积

V =-（uxv）∙w-

uxv =（-1，-3,0）x（5，0，0）=（0,0，-15）

（uxv）∙w =（0,0，-15）∙（-0.25，-4，4）= 0 + 0 + 4（-15）=-60

由此我们得出结论，V = 60

现在让我们考虑R3中的以下平行六面体，其边缘由矢量确定

A =（2，5，0），B =（6，1，0）和C =（3，4，4）

使用行列式可以使我们

因此，我们认为所述平行六面体的体积为112。

两者都是计算体积的等效方法。

完美的平行六面体

正二十面体被称为欧拉砖（或欧拉块），其特性是其边缘的长度和每个面的对角线的长度均为整数。

尽管欧拉不是第一个研究具有这种特性的orhehedra的科学家，但他确实发现了有关它们的有趣结果。

保罗·霍尔克（Paul Halcke）发现了最小的欧拉砖，其边缘长度为a = 44，b = 117和c = 240。

数论中的一个开放问题如下

有完美的奥托海德拉吗？

目前，尚未回答该问题，因为无法证明不存在这样的尸体，但也未找到任何尸体。

到目前为止，已经证明存在完美的平行六面体。第一个被发现的边缘长度为103、106和271。

参考书目

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