的素数，也被称为原绝对的，是那些自然数，其是仅由整除自己和1。这类号码，如2，3，5，7，11，13，17，19，23和多加。
取而代之的是，一个复合数本身可以被1以及至少一个其他数整除。例如，我们有12，它可以被1、2、4、6和12整除。按照惯例，1不包括在素数列表或化合物列表中。
图1.一些质数。资料来源：维基共享资源。
素数的知识可以追溯到远古时代。古埃及人已经使用过它们，而且它们肯定早就知道了。
这些数字非常重要，因为任何自然数都可以用质数的乘积表示，这种表示是唯一的，除了在因子顺序上。
这个事实在一个称为算术基本定理的定理中得到了充分证明，该定理指出非质数必须由实数的乘积组成。
质数的特征
这是质数的主要特征：
-它们是无限的，因为无论素数有多大，您总是可以找到更大的素数。
-如果质数p不能精确地除以另一个数a，则可以说p和a是互质的。发生这种情况时，两者唯一的共同除数是1。
a不必是绝对素数。例如，5是质数，而12不是，但两个数互为质数，因为它们都有1作为公共除数。
-当质数p除以n的幂时，它也除以n。让我们考虑100，它是10的幂，特别是10 2。碰巧2将100和10相除。
-除2外，所有质数均为奇数，因此其最后一位为1、3、7或9。不包括5。因为尽管它是奇数和质数，但它永远不是另一个质数的最终数字。实际上，所有以5结尾的数字都是该数字的倍数，因此不是质数。
-如果p是两个数字ab的乘积的质数和除数，则p除以其中一个。例如，质数3将乘积9 x 11 = 99，因为3是9的除数。
如何知道数字是否为质数
素养是素养品质的名称。好吧，法国数学家Pierre de Fermat（1601-1665）在所谓的Fermat小定理中找到了一种验证数字素数的方法：
“给定质数自然数p和任何大于0的自然数，只要p是质数，则p -a是p的倍数是正确的。”
我们可以使用较小的数字来证实这一点，例如假设p = 4，我们已经知道它不是素数，并且已经= 6：
6 4 - 6 = 1296 - 6 = 1290
数字1290不能被4整除，因此4不是质数。
现在让我们用p = 5（即素数和ya = 6）进行测试：
6 5-6 = 7766-6 = 7760
7760被5整除，因为任何以0或5结尾的数字都可以。实际上7760/5 =1554。由于费马小定理成立，因此我们可以确保5是质数。
通过该定理的证明是有效的且直接针对小数，其中该运算易于执行，但是如果要求我们找出大数的素性怎么办？
在那种情况下，该数字会在所有较小的质数中相继除，直到找到精确的除法或商小于除数。
如果精确地进行除法运算，则表示该数字为合成数；如果商小于除数，则表示该数字为质数。我们将在已解决的练习2中将其付诸实践。
查找素数的方法
有无限多个质数，没有一个单一的公式可以确定它们。但是，看一些像这样的质数：
3，7，31，127…
观察到它们的形式为2 n -1，n = 2、3、5、7、9…我们确保这一点：
2 2-1 = 4-1 = 3; 2 3-1 = 8-1 = 7; 2 5-1 = 32-1 = 31; 2 7-1 = 128-1 = 127
但是我们不能确保通常2 n -1是素数，因为n的某些值对它不起作用，例如4：
2 4-1 = 16-1 = 15
并且数字15不是质数，因为它以5结尾。但是，通过计算机计算发现的最大已知质数之一的形式为2 n -1，其具有：
n = 57,885,161
梅森的公式向我们保证2 p -1始终是素数，只要p也是素数。例如，31是质数，因此可以确定2 31-1也是质数：
2 31 - 1 = 2147483647
但是，该公式仅允许您确定一些质数，而不是全部。
欧拉公式
如果n在0到39之间，则以下多项式可以查找质数：
P（n）= n 2 + n + 41
稍后，在已解决的练习部分中将提供其用法示例。
Eratosthenes的筛子
Eratosthenes是来自古希腊的物理学家和数学家，他生活在公元前3世纪。他设计了一种图形方法来查找可以用小数字付诸实践的素数，这被称为Eratosthenes筛子（一个筛子就像一个筛子）。
-将数字放置在表格中，如动画中所示。
-然后除掉偶数，只有2个我们知道是质数。所有其他都是此的倍数，因此不是素数。
-还标记了3、5、7和11的倍数，但不包括所有倍数，因为我们知道它们是质数。
-已经标记了4、6、8、9和10的倍数，因为它们是复合的，因此是某些所示质数的倍数。
-最后，未标记的数字是质数。
图2. Eratosthenes筛子的动画。资料来源：维基共享资源。
练习题
-练习1
将Euler多项式用于质数，找到3个大于100的数。
解
这是欧拉提出的查找素数的多项式，适用于0到39之间的n值。
P（n）= n 2 + n + 41
通过反复试验，我们选择n的值，例如n = 8：
P（8）= 8 2 + 8 + 41 = 113
由于n = 8产生的质数大于100，因此我们对n = 9和n = 10的多项式进行求值：
P（9）= 9 2 + 9 + 41 = 131
P（10）= 10 2 + 10 + 41 = 151
-练习2
找出以下数字是否为质数：
a）13
b）191
解决方案
13足够小，可以使用费马小定理和计算器的帮助。
我们使用a = 2，以便数字不会太大，尽管也可以使用a = 3、4或5：
2 13 - 2 = 8190
8190被2整除，因为它是偶数，因此13是质数。读者可以通过对a = 3进行相同的测试来证实这一点。
解决方案b
191太大，无法用定理和通用计算器证明，但是我们可以找到每个素数之间的除法。我们忽略除以2的原因，因为191不是偶数，并且除法将不精确或商小于2。
我们尝试除以3：
191/3 = 63,666…
而且它没有给出精确值，商也不小于除数（63,666…大于3）
因此，我们继续尝试在质数5、7、11、13之间除以191，并且没有达到精确的除法，也没有得到小于除数的商。直到除以17：
191/17 = 11，2352…
由于不准确，并且11.2352…小于17，因此数字191是质数。
参考文献
- Baldor，A.1986。算术。版本和发行法典。
- 普列托C.质数。从以下目录中恢复：paginas.matem.unam.mx。
- 质数的属性。从以下网站恢复：mae.ufl.edu。
- Smartick。质数：如何用Eratosthenes筛子找到它们。从以下位置恢复：smartick.es。
- 维基百科。素数。摘自：es.wikipedia.org。