- 计算实例
- 细棒相对于穿过其中心的轴的惯性矩
- 磁盘相对于穿过其中心的轴的惯性矩
- 实心球体绕直径的惯性矩
- 实心圆柱体相对于轴线的惯性矩
- 矩形片相对于穿过其中心的轴的惯性矩
- 正方形薄片相对于通过其中心的轴的惯性矩
- 惯性矩定理
- 斯坦纳定理
- 垂直轴定理
- 运动解决
- 参考文献
的转动惯量的刚性体相对于一定的旋转轴表示其耐改变其角速度绕所述轴线。它与质量成比例，并且与旋转轴的位置成正比，因为根据几何形状，物体可以绕某些轴旋转，而比其他轴更容易旋转。
假设可以绕轴旋转的大物体（由许多粒子组成）。假设一个力˚F作用，切向地施加质量的Δm的元件上我，其产生的扭矩或力矩，由下式给出τ 净 =Σ [R 我 X ˚F 我。载体- [R 我是的Δm的位置我（参见图2）。
图1.各个数字的惯性矩。资料来源：维基共享资源。
此力矩垂直于旋转平面（方向+ k =离开纸张）。由于力和径向位置矢量始终垂直，因此叉积保持：
τ 净 =Σ˚F 我 ř 我 ķ =Σ（的Δm 我一个我）R 我ķ =Σ的Δm 我（一个我 ř 我）ķ
图2.旋转中属于刚性固体的粒子。资料来源：Serway，R.2018。《科学与工程物理》。第1卷。参与学习。
加速度a i表示加速度的切向分量，因为径向加速度对转矩没有贡献。根据角加速度α，我们可以指出：
因此，净转矩如下所示：
τ 净 =Σ的Δm 我（αR 我2）K =（Σ [R 我2的Δm 我）α ķ
整个对象的角加速度α相同，因此不受下标“ i”的影响，并且可以留下总和，恰好是由字母I表示的对象的惯性矩：
这是离散质量分布的惯性矩。当分布是连续的时，求和用积分代替，并且Δm变为质量差dm。积分是在整个对象上执行的：
SI International System中惯性矩的单位为kg xm 2。它是一个标量且为正数，因为它是质量与距离的平方的乘积。
计算实例
密度为ρ且常数恒定且知道密度为质量体积比的扩展对象（例如，条形，圆盘形，球形或其他形状），质量差dm表示为：
用积分代替惯性矩，我们有：
这是一个通用表达式，对于体积为V和位置r为空间坐标x，y和z 的三维物体有效。注意，常数是恒定的，在积分之外。
密度ρ也称为体积密度，但是如果对象非常平坦（如片状）或非常细而窄的条状（如棒状），则可以使用其他形式的密度，让我们看看：
-对于非常薄的薄片，使用的密度为σ，表面密度（每单位面积的质量），而dA为面积差。
-如果是一根细条，仅与长度有关，则根据用作参考的轴使用线性质量密度λ和长度差。
在下面的示例中，所有对象都被认为是刚性的（不可变形）并且具有均匀的密度。
细棒相对于穿过其中心的轴的惯性矩
在这里，我们将计算长度为L且质量为M的细长的刚性均质棒相对于穿过介质的轴的惯性矩。
首先，必须建立座标系统并建立具有适当几何形状的图形，如下所示：
图3.计算细杆相对于穿过其中心的垂直轴的惯性矩的几何形状。资料来源：F. Zapata。
选择沿钢筋的x轴和y轴作为旋转轴。建立积分的过程还需要在棒上选择质量差，称为dm，其质量差为dx，相对于中心x = 0位于任意位置x。
根据线性质量密度λ的定义：
由于密度是均匀的，这对于M和L有效，因此对于dm和dx也有效：
另一方面，质量元素在位置x上，因此通过在定义中替换此几何形状，我们得到了一个定积分，其极限是根据坐标系的钢筋的两端：
代入线密度λ= M / L：
要找到钢筋相对于另一根旋转轴的惯性矩，例如一条穿过其一端的惯性矩，可以使用Steiner定理（请参阅末尾的练习）或进行类似于所示的直接计算此处，但适当地修改几何形状。
磁盘相对于穿过其中心的轴的惯性矩
厚度可忽略的非常薄的磁盘是平坦的图形。如果质量均匀分布在区域A的整个表面上，则质量密度σ为：
dm和dA都对应于图中所示的差动环的质量和面积。我们将假定整个组件绕y轴旋转。
您可以想象磁盘由许多半径为r的同心环组成，每个同心环都有各自的惯性矩。将所有环的贡献相加，直到达到半径R，我们将得到磁盘的总惯性矩。
图4.计算磁盘相对于轴向惯性矩的几何形状。资料来源：F. Zapata。
其中M代表磁盘的整体质量。磁盘的面积取决于其半径r为：
关于r的推导：
将以上内容替换为I的定义：
代σ= M /（π.R 2）我们得到：
实心球体绕直径的惯性矩
半径为R的球体可以看作是一系列相互叠置的圆盘，其中质量为dm，半径r和厚度为dz的无穷小每个圆盘的惯性矩为：
为了找到这种差异，我们简单地采用上一节中的公式，分别用M和R代替dm和r。可以在图5的几何图中看到这样的磁盘。
图5.计算半径为R的实心球相对于穿过直径的轴的惯性矩的几何形状。资料来源：F. Zapata。
通过将叠置磁盘的所有无限惯性矩相加，可以得出球体的总惯性矩：
等效于：
要求解积分，您需要适当地表达dm。与往常一样，它是通过密度实现的：
差异磁盘的容量为：
盘的高度是厚度DZ，而底座的面积为πR 2，因此：
并替换为建议的积分，它将看起来像这样：
但是在积分之前，必须注意，r（圆盘的半径）取决于z和R（球面的半径），如图5所示。使用勾股定理：
这导致我们：
为了在整个球面上积分，我们注意到z在–R和R之间变化，因此：
经过简化后，最终知道ρ= M / V = M /
实心圆柱体相对于轴线的惯性矩
为此，使用一种类似于球体的方法，只是这一次更容易，如果将圆柱体想象为由半径r，厚度dr和高度H的圆柱壳形成，就好像它们是洋葱层一样。 。
图6.计算半径为R的实心圆柱体相对于轴向的惯性矩的几何形状。资料来源：Serway，R.2018。《科学与工程物理》。第1卷。
圆柱层的体积dV为：
因此壳质量为：
该表达式替换为惯性矩的定义：
上式表明，圆柱的惯性矩不取决于其长度，而仅取决于其质量和半径。如果改变L，则绕轴的惯性矩将保持不变。因此，圆柱的I与先前计算的薄盘的I一致。
矩形片相对于穿过其中心的轴的惯性矩
已选择水平y轴作为旋转轴。下图显示了执行积分所需的几何形状：
图7.用于计算矩形板相对于平行于板并经过其中心的轴的惯性矩的几何形状。资料来源：F. Zapata。
用红色标记的区域元素是矩形。它的面积是基准x高度，因此：
因此质量差为：
从区域元素到旋转轴的距离始终为z。我们用惯性矩的积分代替所有这些：
现在，表面质量密度σ替换为：
它肯定看起来像这样：
请注意，它就像细棒。
正方形薄片相对于通过其中心的轴的惯性矩
对于具有L边的正方形，在对矩形有效的前一个表达式中，只需将b的值替换为L的值：
惯性矩定理
有两个特别有用的定理可以简化相对于其他轴的惯性矩的计算，否则，由于缺乏对称性，可能很难找到这些定理。这些定理是：
斯坦纳定理
也称为平行轴定理，只要轴平行，它就将惯性矩相对于一个轴与穿过对象质心的另一个轴相关联。要应用它，必须知道两个轴之间的距离D，当然还要知道物体的质量M。
令I z为相对于z轴延伸的对象的惯性矩，I CM为相对于穿过所述对象的质心（CM）的轴的惯性矩，则满足：
或用下图的符号表示：I z' = I z + Md 2
图8. Steiner定理或平行轴。资料来源：维基共享资源。杰克·西
垂直轴定理
该定理适用于平面，如下所示：平面物体围绕垂直于其的轴的惯性矩是绕垂直于第一轴的两个轴的惯性矩之和：
图9.垂直轴定理。资料来源：F. Zapata。
如果对象具有对称性，使得I x和I y相等，那么确实是：
运动解决
求出钢筋相对于穿过其一端之一的轴的惯性矩，如图1（下方和右侧）和图10所示。
图10.均匀棒绕穿过一端的轴的惯性矩。资料来源：F. Zapata。
解：
我们已经有了杆绕通过其几何中心的轴的惯性矩。由于棒是均匀的，因此它的质心在那个点上，因此这将是我们应用斯坦纳定理的I CM。
如果钢筋的长度为L，则z轴的距离为D = L / 2，因此：
参考文献
- Bauer，W.2011。《工程与科学物理学》。第1卷。麦格劳·希尔（Mc Graw Hill）。313-340
- Rex，A.，2011年。《物理学基础》。皮尔森 190-200。
- 平行轴定理。从以下网站恢复：hyperphysics.phy-astr.gsu.edu。
- Serway，R.，2018年。《科学与工程物理》。第1卷。
- 塞维利亚大学。球形固体的惯性矩。从以下位置恢复：laplace.us.es。
- 塞维利亚大学。粒子系统的惯性矩。从以下位置恢复：laplace.us.es。
- 维基百科。平行轴定理。从以下位置恢复：en.wikipedia.org