当所述矩阵乘以其转置而得到单位矩阵时，存在正交矩阵。如果矩阵的逆等于转置，则原始矩阵是正交的。
正交矩阵的特征是行数等于列数。此外，行向量是单位正交向量，转置行向量也是。
图1.正交矩阵示例及其如何转换几何对象。（由里卡多·佩雷斯制作）
当正交矩阵乘以向量空间的向量时，它会产生等轴测变换，即不改变距离并保留角度的变换。
正交矩阵的典型代表是旋转矩阵。向量空间上正交矩阵的变换称为正交变换。
通过在原始矢量上应用正交矩阵以获得转换后的矢量的坐标，可以对由其笛卡尔矢量表示的点的旋转和反射进行几何变换。因此，正交矩阵被广泛用于计算机图形处理中。
物产
矩阵中号如果乘以它的转置是正交中号Ť给出作为结果的单位矩阵予。类似地，正交矩阵与原始矩阵的转置积将导致单位矩阵：
MM T = M T M = I
由于前面的陈述，我们有一个正交矩阵的转置等于它的逆矩阵：
M T＝ M -1 。
维度为nxn的一组正交矩阵形成正交组O（n）。行列式为+1的正交矩阵的O（n）的子集构成of特殊矩阵SU（n）的组。SU（n）组的矩阵是产生旋转线性变换（也称为旋转组）的矩阵。
示范
我们要证明，当且仅当行向量（或列向量）彼此正交且范数为1时，矩阵才是正交的。
假设正交矩阵nxn的行是维度为n的n个正交向量。如果用v 1 ，v 2 ，…。表示，则n个向量的V n成立：
显然，行向量的集合确实是范数为1的一组正交向量。
例子
例子1
证明2 x 2的矩阵在其第一行具有向量v1 =（-1 0），在其第二行具有向量v2 =（0 1）是正交矩阵。
解决方案：构造矩阵M并计算其转置M T：
在该示例中，矩阵M是自转置的，即，矩阵及其转置是相同的。将M乘以其转置M T：
验证MM T等于单位矩阵：
当矩阵M乘以矢量或点的坐标时，将获得新的坐标，该坐标对应于矩阵在矢量或点上进行的变换。
图1显示了M如何将向量u转换为u'，以及M如何将蓝色多边形转换为红色多边形。由于M是正交的，因此它是正交变换，可以保留距离和角度。
例子2
假设您有一个由以下表达式给出的实数定义的2 x 2矩阵：
求a，b，c和d的实值，使矩阵M为正交矩阵。
解决方案：根据定义，如果矩阵乘以其转置矩阵，则该矩阵是正交的。记住，转置矩阵是从原始的行交换列获得的，获得以下等式：
执行矩阵乘法，我们有：
将左边矩阵的元素与右边单位矩阵的元素等同，我们得到一个包含四个未知数为a，b，c和d的四个方程的系统。
我们针对a，b，c和d提出以下三角正弦和余弦的表达式：
有了这个建议，由于基本的三角恒等式，在矩阵元素相等的情况下自动满足了第一个和第三个方程。代入建议的值后，第三和第四等式相同并且矩阵相等，如下所示：
这导致以下解决方案：
最后，针对正交矩阵M获得以下解：
请注意，第一个解具有行列式+1，因此它属于组SU（2），而第二个解具有行列式-1，因此不属于该组。
例子3
给定以下矩阵，找到a和b的值，以便我们有一个正交矩阵。
解决方案：对于给定的正交矩阵，其转置乘积必须为单位矩阵。然后，执行给定矩阵与其转置矩阵的矩阵乘积，得出以下结果：
接下来，结果等于3 x 3单位矩阵：
在第二行中，第三列具有（ab = 0），但是a不能为零，因为否则将无法满足第二行和第二列中元素的相等性。那么必然b = 0。用b代替值0，我们得到：
然后求解方程：2a ^ 2 = 1，其解为：+½√2和-½√2。
以a的正解为例，得到以下正交矩阵：
读者可以轻松地验证行向量（以及列向量）是否正交且是统一的，即正交。
例子4
表明，该矩阵甲其行向量V1 =（0，-1 0） ，V 2 =（1，0,0）和V3 =（0 0 -1）是正交矩阵。另外，发现向量已从规范基础i，j，k转换为向量u1，u2和u3。
解决方案：应该记住，矩阵的元素（i，j）乘以其转置就是行（i）的向量与转置的列（j）的向量的点积。此外，在矩阵为正交的情况下，该乘积等于Kronecker增量：
在我们的情况下，它看起来像这样：
v1•v1 = 0x0 +（-1）x（-1）+ 0x0 = 1
v2•v2 = 1×1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3•v3 = 0x0 + 0x0 +（-1）x（-1）= 1
v1•v2 = 0x1 +（-1）x0 + 0x0 = 0
v2•v1 = 1×0 + 0x（-1）+ 0x0 = 0
v2•v3 = 1×0 + 0x（0）+ 0x（-1）= 0
v3•v2 = 0x1 + 0x（0）+（-1）x0 = 0
v1•v3 = 0x0 +（-1）x（0）+ 0x（-1）= 0
v3•v1 = 0x0 + 0x（-1）+（-1）x0 = 0
用它表明它是一个正交矩阵。
而且u1 = A i =（0，1，0）; u2 = A j =（- 1，0，0）最后u3 = A k =（0，0，-1）
参考文献
- Anthony Nicolaides（1994）行列式和矩阵。通过发布。
- Birkhoff和MacLane。（1980）。现代代数，主编。Vicens-Vives，马德里。
- Casteleiro Villalba M.（2004）线性代数导论。ESIC社论。
- Dave Kirkby（2004）数学连接。海涅曼。
- 珍妮·奥利夫（Jenny Olive）（1998）数学：学生生存指南。剑桥大学出版社。
- 理查德·布朗（Richard J.Brown）（2012年）30秒数学：数学中50个最扩展思维的理论。常春藤出版社。
- 维基百科。正交矩阵。从以下位置恢复：es.wikipedia.com
- 维基百科。正交矩阵。从以下位置恢复：en.wikipedia.com