所述欧拉法是用于查找数值解近似到的常微分方程的最基本和简单的程序的第一顺序，条件是初始状态是已知的。
常微分方程（ODE）是将单个独立变量的未知函数与其导数相关联的方程。
欧拉方法的逐次逼近。资料来源：Oleg Alexandrov
如果方程中出现的最大导数是一阶，则它是一阶的常微分方程。
编写一级方程的最通用方法是：
x = x 0
y = y 0
欧拉的方法是什么？
欧拉方法的思想是在X 0和X f之间的区间中找到微分方程的数值解。
首先，将时间间隔离散化为n + 1分：
x 0，x 1，x 2，x 3 …，x n
可以这样获得：
x i = x 0 + ih
其中h是子间隔的宽度或步长：
有了初始条件，那么也有可能在一开始就知道导数：
y'（x o）= f（x o，y o）
此导数恰好表示点处切线到函数y（x）曲线的斜率：
Ao =（x o，y o）
然后，在以下几点对函数y（x）的值进行近似预测：
y（x 1）≈y 1
ÿ 1 = Ý Ö +（X 1 - X Ö）F（X Ò，Y ö）= Y O + HF（X Ò，Y ö）
然后获得了解的下一个近似点，它对应于：
A 1 =（x 1，y 1）
重复该过程以获得连续点
A 2，A 3 …，x n
在开始显示的图中，蓝色曲线表示微分方程的精确解，红色曲线表示通过欧拉方法获得的连续近似点。
解决的练习
练习1
I）让微分方程为：
在初始条件下x = a = 0; 且a = 1
使用欧拉方法，在坐标X = b = 0.5处获得y的近似解，将区间细分为n = 5个部分。
解
数值结果总结如下：
从中可以得出结论，值为0.5的解Y为1.4851。
注意：Smath Studio是一个免费的免费程序，已用于执行计算。
练习2
II）继续练习I）的微分方程，找到精确解并将其与通过欧拉方法获得的结果进行比较。查找精确结果与近似结果之间的误差或差异。
解
确切的解决方案不是很难找到。函数sin（x）的导数已知为函数cos（x）。因此，解y（x）为：
y（x）=正x + C
为了满足初始条件且（0）= 1，常数C必须等于1。然后将精确结果与近似值进行比较：
结论是，在计算出的间隔中，近似值具有三个有效的精度数字。
练习3
III）考虑下面给出的微分方程及其初始条件：
y'（x）=-y 2
初始条件x 0 = 0; 和0 = 1
使用欧拉方法在间隔x =上找到解y（x）的近似值。使用步骤h = 0.1。
解
欧拉的方法非常适合与电子表格一起使用。在这种情况下，我们将使用geogebra电子表格，这是一个免费的开源程序。
图中的电子表格显示了三列（A，B，C），第一列是变量x，第二列代表变量y，第三列是导数y'。
第2行包含X，Y，Y'的初始值。
步骤0.1的值已放置在绝对位置单元格（$ D $ 4）中。
y0的初始值在单元格B2中，而y1在单元格B3中。要计算y 1，使用公式：
ÿ 1 = Ý Ö +（X 1 - X Ö）F（X Ò，Y ö）= Y O + HF（X Ò，Y ö）
该电子表格公式为数字B3：= B2 + $ D $ 4 * C3。
类似地，y2将位于单元格B4中，其公式如下图所示：
该图还显示了精确解的图，以及通过欧拉方法得出的近似解的点A，B，…，P。
牛顿动力学和欧拉方法
古典动力学是由艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643-1727）开发的。伦纳德·欧拉（Leonard Euler（1707-1783））发展其方法的最初动机，是要在各种物理情况下求解牛顿第二定律方程。
牛顿第二定律通常表示为第二阶微分方程：
其中x表示对象在时间t的位置。所述物体的质量为m，并受到力F。函数f与力和质量有关，如下所示：
要应用欧拉方法，需要时间t，速度v和位置x的初始值。
下表说明了如何在t2 = t1 +Δt的时刻从初始值t1，v1，x1开始获得速度v2和位置x2的近似值，其中Δt表示很小的增加，对应于方法中的步骤欧拉。
练习4
IV）力学中的基本问题之一是质量块M与弹性常数K的弹簧（或弹簧）相连。
牛顿针对该问题的第二定律如下所示：
在此示例中，为简单起见，我们将M = 1和K = 1。通过将时间间隔细分为12个部分，通过欧拉方法在时间间隔上找到位置x和速度v的近似解。
取0作为初始时刻，初始速度0和初始位置1。
解
数值结果如下表所示：
还显示时间0到1.44之间的位置和速度图形。
建议的家庭练习
练习1
使用电子表格通过欧拉方法确定微分方程的近似解：
y'=-Exp（-y），初始条件x = 0，y = -1，间隔x =
从0.1步开始。绘制结果。
练习2
使用电子表格，找到以下二次方程的数值解，其中y是自变量t的函数。
y''=-1 /y²，初始条件t = 0；和（0）= 0.5; y'（0）= 0
使用0.05的步长在间隔中找到解决方案。
绘制结果：y vs t; t
参考文献
- 取自Wikipedia.org的Eurler方法
- 欧拉求解器。取自en.smath.com