该线性内插是它起源广义牛顿插值与逼近，以确定对于一个未知值，该值是两个给定数字之间的方法; 即找到一个中间值。它也适用于近似函数，其中值f （a）和f （b）是已知的，我们想知道f （x）的中间值。
插值有不同类型，例如线性，二次，三次和更高次，最简单的是线性近似。线性插值必须付出的代价是，结果将不如使用高次函数进行逼近的结果准确。
定义
线性插值是一个允许您推断出两个明确定义的值之间的值的过程，这些值可以在表格中或在折线图中。
例如，如果您知道3升牛奶的价值为4美元，而5升牛奶的价值为7美元，但是您想知道4升牛奶的价值，则可以插值确定中间值。
方法
为了估计函数的中间值，函数f （x）通过线r （x）近似表示，这意味着对于«x = a»和«x =截面，函数随«x»线性变化。 b“; 也就是说，对于间隔（x 0，x 1）和（y 0，y 1）中的值“ x”，“ y”的值由点之间的线给出，并由以下关系表示：
（y-y 0）÷（x-x 0）=（y 1 -y 0）÷（x 1 -x 0）
为了使插值成为线性插值，插值多项式必须为一阶（n = 1），以使其适合x 0和 x 1的值。
线性插值基于三角形的相似性，以这种方式，从上一个表达式几何导出，可以获得“ y”的值，该值表示“ x”的未知值。
这样，您必须：
a = tanƟ=（相对的支脚1 ÷相邻的支脚1）=（相对的支脚2 ÷相邻的支脚2）
用另一种方式表示，它是：
（y-y 0）÷（x-x 0）=（y 1 -y 0）÷（x 1 -x 0）
从表达式中求解«和»，我们有：
（y-y 0）*（x 1 -x 0）=（x-x 0）*（y 1 -y 0）
（y-y 0）=（y 1 -y 0）*
因此，获得了线性插值的一般公式：
y = y 0 +（y 1 -y 0）*
通常，线性插值对true函数的实数值会产生很小的误差，尽管与您直观地选择一个接近要查找的数字的误差相比，线性误差较小。
尝试用直线近似曲线的值时会发生此错误；在这些情况下，必须减小间隔的大小以使近似值更加精确。
为了获得有关逼近的更好结果，建议使用2、3甚至更高的度数的函数来执行插值。对于这些情况，泰勒定理是一个非常有用的工具。
解决的练习
练习1
下表中列出了x个小时后孵育中每单位体积的细菌数。您想知道3.5小时内细菌的量是多少。
解
参考表没有建立一个表示3.5小时内细菌数量的值，但确实有分别对应3小时和4小时时间的上限值和下限值。那样：
x 0 = 3和0 = 91
x = 3.5 y =？
x 1 = 4和1 = 135
现在，应用数学方程式来找到内插值，如下所示：
y = y 0 +（y 1 -y 0）*。
然后替换相应的值：
y = 91 +（135-91）*
y = 91 +（44）*
y = 91 + 44 * 0.5
y = 113。
因此，获得了在3.5小时的时间内细菌的数量为113，这表示在3小时和4小时的时间内存在的细菌量之间的中间水平。
练习2
路易斯有一家冰淇淋厂，他想进行一项研究，根据支出来确定8月份的收入。公司的管理员制作了一个图表来表达这种关系，但是路易斯想知道：
如果发生$ 55,000的支出，八月的收入是多少？
解
图表给出了收入和支出的值。如果工厂的开支为$ 55,000，路易斯想知道八月份的收入是多少。该值未直接反映在图表中，但该值高于和低于此值。
首先创建一个表格，在其中轻松关联这些值：
现在，使用插值公式确定y的值
y = y 0 +（y 1 -y 0）*
然后替换相应的值：
y = 56,000 +（78,000-56,000）*
y = 56,000 +（22,000）*
y = 56,000 +（22,000）*（0.588）
y = 56,000 + 12,936
y = $ 68,936。
如果在8月份支出55,000美元，则收入为68,936美元。
参考文献
- 亚瑟·古德曼（Arthur Goodman，LH）（1996）。具有解析几何的代数和三角学。培生教育。
- Harpe，第d。（2000）。几何群论中的主题。芝加哥大学出版社。
- Hazewinkel，M。（2001）。《线性内插》，数学百科全书。
- ，JM（1998）。工程数值方法的要素。UASLP。
- ，E。（2002）。插值年表：从古代天文学到现代信号和图像处理。IEEE会议论文集。
- 数值的 （2006）。XavierTomàs，Jordi Cuadros，LucinioGonzález。