毕达哥拉斯恒等式都是三角方程，适用于任何角度值，并基于毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯身份中最著名的是基本的三角身份：
罪2（α）+余弦2（α）= 1
图1.勾股三角学恒等式。
其次，我使用切线和割线的勾股定律：
Tan 2（α）+1 =秒2（α）
毕达哥拉斯三角恒等式涉及余切和余割：
1 + Ctg 2（α）= Csc 2（α）
示范
三角比正弦和余弦表示在半径为一（1）的圆上，称为三角圆。所述圆的中心位于坐标O的原点。
从Xs的正半轴测量角度，例如图2中的角度α（请参见下文）。如果角度为正，则逆时针；如果角度为负，则逆时针。
绘制了具有原点O和角度α的光线，该光线在点P处截取单位圆。点P垂直投影在水平轴X上，产生点C。类似地，P垂直投影在垂直轴Y上，给出指向S点的位置。
我们在C处有直角OCP。
正弦和余弦
应当记住，三角比例正弦在直角三角形上定义如下：
三角形角度的正弦是与该角度相对的腿与三角形的斜边之间的比率或商。
应用于图2的三角形OCP，它将看起来像这样：
Sen（α）= CP / OP
但CP = OS，OP = 1，因此：
Sen（α）= OS
这意味着Y轴上的投影OS的值等于显示角度的正弦值。应该注意的是，当α=90º时，出现角度正弦的最大值（+1），当α=-90º或α=270º时出现最小值（-1）。
图2.三角圆显示勾股定理和基本三角恒等式之间的关系。（自行阐述）
类似地，角度的余弦是与该角度相邻的腿与三角形的斜边之间的商。
应用于图2的三角形OCP，它将看起来像这样：
余弦（α）= OC / OP
但OP = 1，因此：
余弦（α）= OC
这意味着X轴上的投影OC的值等于所示角度的正弦值。应该注意的是，当α=0º或α=360º时，余弦的最大值（+1）出现，而当α=180º时，余弦的最小值为（-1）。
基本身份
对于C中的直角OCP，应用勾股定理，该定理指出支腿的平方和等于斜边的平方：
CP 2 + OC 2 = OP 2
但是已经有人说过CP = OS = Sen（α），OC = Cos（α），OP = 1，因此可以将前一个表达式重写为该角度的正弦和余弦的函数：
罪2（α）+余弦2（α）= 1
切线轴
正如三角圆中的X轴是余弦轴，Y轴是正弦轴一样，同样存在切线轴（见图3），该切线恰好是该点处单位圆的切线。坐标B（1、0）。
如果您想知道某个角度的切线的值，则从X的正半轴绘制该角度，该角度与切线的轴的交点定义一个点Q，线段OQ的长度就是该点的切线角度。
这是因为根据定义，角度α的切线是相邻边OB之间的相对边QB。也就是说，Tan（α）= QB / OB = QB / 1 = QB。
图3.三角圆，显示切线的轴和切线的毕达哥拉斯恒等式。（自行阐述）
切线的勾股定律
切线的勾股身份可以通过考虑B处的直角三角形OBQ来证明（图3）。将勾股定理应用于该三角形，我们得到BQ 2 + OB 2 = OQ 2。但是已经有人说过BQ = Tan（α），OB = 1，OQ = Sec（α），因此用毕达哥拉斯等式代入直角三角形OBQ，我们有：
Tan 2（α）+1 =秒2（α）。
例
检查腿AB = 4和BC = 3的直角三角形中是否满足勾股身份。
解决方案：腿是已知的，需要确定斜边，即：
AC =√（AB ^ 2 + BC ^ 2）=√（4 ^ 2 + 3 ^ 2）=√（16 + 9）=√（25）= 5。
角度∡BAC将被称为α，∡BAC=α。现在确定了三角比例：
Senα= BC / AC = 3/5
Cosα= AB / AC = 4/5
所以α= BC / AB = 3/4
Cotanα= AB / BC = 4/3
秒α= AC / AB = 5/4
Cscα= AC / BC = 5/3
它从基本的三角恒等式开始：
罪2（α）+余弦2（α）= 1
（3/5）^ 2 +（4/5）^ 2 = 9/25 + 16/25 =（9 +16）/ 25 = 25/25 = 1
结论是它实现了。
-下一个毕达哥拉斯身份是切线身份：
Tan 2（α）+1 =秒2（α）
（3/4）^ 2 +1 = 9/16 + 16/16 =（9 + 16）/ 16 = 25/16 =（5/4）^ 2
得出结论，证明切线的身份。
-以类似余切的方式：
1 + Ctg 2（α）= Csc 2（α）
1+（4/3）^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 =（5/3）^ 2
可以得出结论，它也已完成，从而完成了验证给定三角形的勾股身份的任务。
解决的练习
根据三角比率和勾股定律的定义，证明以下恒等式。
练习1
证明Cos 2 x =（1 + Sin x）（1-Sin x）。
解：在右侧，我们认识到二项式乘以其共轭的非凡乘积，众所周知，这是平方差：
Cos 2 x = 1 2-罪恶2 x
然后，右侧带有正弦的项会转到左侧，符号会更改：
Cos 2 x + Sen 2 x = 1
注意，已经达到了基本的三角恒等式，因此可以得出结论，给定的表达式是恒等式，也就是说，对于x的任何值，它都是正确的。
练习2
从基本的三角恒等式开始，并使用三角比率的定义，证明了该割线的勾股身份。
解决方案：基本身份是：
罪2（x）+余数2（x）= 1
两个成员均除以Sen 2（x），并且分母分布在第一个成员中：
罪2（x）/罪2（x）+ cos 2（x）/罪2（x）= 1 /罪2（x）
简化为：
1 +（Cos（x）/ Sen（x））^ 2 =（1 / Sen（x））^ 2
Cos（x）/ Sen（x）= Cotan（x）是（非毕达哥拉斯）恒等式，已通过三角比的定义得到验证。具有以下标识的情况相同：1 / Sen（x）= Csc（x）。
最后，您必须：
1 + Ctg 2（x）= Csc 2（x）
参考文献
- Baldor J.（1973年）。平面和空间几何，以及三角学入门。中美洲文化。交流电
- CEA（2003）。几何元素：具有练习和罗盘几何。麦德林大学。
- Campos，F.，Cerecedo，FJ（2014）。数学2. Grupo编辑Patria。
- 艾格 （科幻）。数学第一学期塔卡纳。艾格
- 小几何。（2014）。多边形。露露出版社
- 米勒，海伦和霍恩斯比。（2006）。数学：推理与应用（第十版）。培生教育。
- 帕蒂尼奥（2006）。数学5。社论Progreso。
- 维基百科。三角恒等式和公式。从以下位置恢复：es.wikipedia.com